星露谷物语玛鲁数学题怎么过 玛鲁数学题答案解析

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问：圆的周长正以0.5米每分钟的速度增长。那么当半径为4米时，圆的面积变化率是多少？

答：2平方米每分钟

1、3米每分钟

3、4平方米每分钟

3、4米每分钟

4、2平方米每分钟

5、7米每分钟

答案解析：

1、圆的周长与半径之间的关联可表示为：[ C = 2pi r ]设想圆的周长以每分钟0.5米的速率递增，即：[ frac{dC}{dt} = 0.5 text{ m/min} ]本研究旨在确定半径为4米时，圆的面积变化速率。

2、面积 ( A ) 与半径 ( r ) 之间的数学关系为：[ A = pi r^2 ]首先，我们需计算出面积的变化率 ( frac{dA}{dt} )。

3、利用链式法则，可得：[ frac{dA}{dt} = frac{dA}{dr} cdot frac{dr}{dt} ]由于 ( A = pi r^2 )，对 ( r ) 求导得：[ frac{dA}{dr} = 2pi r ]接着，我们需要确定 ( frac{dr}{dt} )。

4、由 ( C = 2pi r ) 对时间 ( t ) 求导，得：[ frac{dC}{dt} = 2pi frac{dr}{dt} ]将 ( frac{dC}{dt} = 0.5 ) 代入上式，解得：[ frac{dr}{dt} = frac{0.5}{2pi} = frac{1}{4pi} text{ m/min} ]

5、目前，我们有：[ frac{dA}{dt} = 2pi r cdot frac{1}{4pi} = frac{r}{2} ]当 ( r = 4 ) 米时，计算得到：[ frac{dA}{dt} = frac{4}{2} = 2 text{ m}^2/text{min} ]

6、所以，当半径为4米时，圆的面积以每分钟2平方米的速率变化。综上所述，圆的面积在半径为4米时，其变化率为2平方米每分钟。

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