极坐标下二重积分的常规解法
在计算极坐标下的二重积分时，可以使用常规方法，即将其转换为笛卡尔坐标下的积分。
考虑极坐标下的积分：
$$iint_{sigma} f(r, theta)dxdy$$
其中 σ 是积分区域，f(r, θ) 是被积函数。
常规解法步骤：
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将笛卡尔坐标 (x, y) 转换为极坐标 (r, θ):
- x = r*cosθ
- y = r*sinθ
- dxdy = r dr dθ
- 代入替换后的变量：
$$iint_{sigma} f(r, theta) dxdy = int_{theta_1}^{theta_2} int_{r_1(θ)}^{r_2(θ)} f(r, theta) r dr dtheta$$
其中 [θ1, θ2] 是积分区域在 θ 轴上的投影，[r1(θ), r2(θ)] 是积分区域在 r 轴上的投影。
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求解积分：
- 对 r 求积分。
- 对 θ 求积分。
مثال:
计算极坐标下定义的二重积分：
$$iint_{sigma} (1 frac{1}{2} sin theta) dxdy$$
其中 σ 是上半平面={(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0}。
常规解法：
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转换为极坐标：
- x = r cos θ
- y = r sin θ
- dxdy = r dr dθ
- 代入转换后的变量：
$$iint_{sigma} (1 frac{1}{2} sintheta ) dxdy = int_0^{pi/2} int_0^{infty} (1 frac{1}{2} sintheta)r dr dtheta$$
- 求解积分：
对 r 求积分：
$$\int_0^{\infty} (1+\frac{1}{2} \sin\theta)r dr = [\frac{1}{2}r^2 - \frac{1}{4r}\cos\theta]_0^{\infty} = \infty$$
已知积分对 r 不收敛，因此该二重积分发散。 
