周统计

一周统计学速成：一场略带讽刺的深度探索

本周，我们将深入浅出地探讨统计学的核心概念，力求以严谨的技术手法解释基本原理，并辅以轻松的讽刺，让学习过程更轻松有趣。本文将详细分解我的统计学习之旅，涵盖理论知识、实际案例和 Python 代码实现。

1. 描述性统计：数据概述

描述性统计是将原始数据进行总结和整理，使其更易于理解和解释的工具。它是数据分析的第一步，为后续分析奠定基础。

数据类型

1. 名义数据:
   • 定性数据，类别之间无序。
   • 例如：颜色（红、绿、蓝）、品牌（苹果、三星）。
   • 可进行的操作：计数、众数计算。
2. 顺序数据:
   • 定性数据，类别之间有顺序，但数值差异无法衡量。
   • 例如：教育程度（高中、本科、研究生）、满意度等级（差、一般、好）。
   • 可进行的操作：排名、中位数计算。
3. 区间数据:
   • 定量数据，数值差异有意义，但无绝对零点。
   • 例如：温度（摄氏度、华氏度）。
   • 可进行的操作：加法、减法。
4. 比率数据:
   • 定量数据，数值差异有意义，有绝对零点。
   • 例如：体重、身高、收入。
   • 可进行的操作：所有算术运算。

集中趋势度量

• 平均数: 数据值的算术平均值。
• 中位数: 排序后数据集中间的数值。
• 众数: 数据集中出现频率最高的数值。

Python 示例：

import numpy as np
from scipy import stats

# 样本数据
data = [12, 15, 14, 10, 12, 17, 18]

mean = np.mean(data)
median = np.median(data)
mode = stats.mode(data).mode[0]

print(f"平均数: {mean}, 中位数: {median}, 众数: {mode}")

2. 离散度度量：展现数据波动

集中趋势度量展现了数据的中心位置，而离散度度量则反映了数据的离散程度或波动性。

关键指标

1. 方差 (σ² 表示总体，s² 表示样本):
   • 数据与平均值的平均平方差。
   • 总体方差公式：σ² = Σ(xᵢ - μ)² / n
   • 样本方差公式：s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
2. 标准差 (σ 表示总体，s 表示样本):
   • 方差的平方根，与数据具有相同的单位。
3. 偏度:
   • 描述数据分布的不对称性。
   • 正偏斜：尾部向右延伸。
   • 负偏斜：尾部向左延伸。

Python 示例：

std_dev = np.std(data, ddof=1)  # 样本标准差
variance = np.var(data, ddof=1)  # 样本方差

print(f"标准差: {std_dev}, 方差: {variance}")

3. 概率分布：数据行为模型

概率分布描述了随机变量取值的概率分布情况。

概率函数

1. 概率质量函数 (PMF):
   • 用于离散随机变量。
   • 例如：掷骰子。
2. 概率密度函数 (PDF):
   • 用于连续随机变量。
   • 例如：人的身高。
3. 累积分布函数 (CDF):
   • 表示随机变量取值小于或等于某个值的概率。

Python 示例：

from scipy.stats import norm

# 正态分布的 PDF 和 CDF
x = np.linspace(-3, 3, 100)
pdf = norm.pdf(x, loc=0, scale=1)
cdf = norm.cdf(x, loc=0, scale=1)

print(f"x=1 处的 PDF: {norm.pdf(1)}")
print(f"x=1 处的 CDF: {norm.cdf(1)}")

分布类型

1. 正态/高斯分布:
   • 对称的钟形曲线。
   • 例如：身高、考试成绩。
2. 二项分布:
   • n 次独立伯努利试验中成功的次数。
   • 例如：抛硬币。
3. 泊松分布:
   • 固定时间间隔内事件发生次数的概率。
   • 例如：每小时收到的邮件数量。
4. 对数正态分布:
   • 对数服从正态分布的变量的分布。
5. 幂律分布:
   • 例如：财富分配、互联网流量。

正态分布的 Python 示例：

import matplotlib.pyplot as plt
samples = np.random.normal(0, 1, 1000)
plt.hist(samples, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')
plt.title('正态分布')
plt.show()

4. 推断统计：从样本推断总体

推断统计允许我们根据样本数据对总体进行推断。

关键概念

1. 点估计:
   • 参数的最佳单点估计值。
2. 置信区间:
   • 参数可能取值的范围。
3. 假设检验:
   • 原假设 (H₀): 默认假设。
   • 备择假设 (Hₐ): 要检验的假设。
   • p 值: 在原假设成立的情况下，观察到当前结果或更极端结果的概率。
4. t 分布:
   • 用于小样本的情况。

假设检验的 Python 示例：

from scipy.stats import ttest_1samp

# 样本数据
data = [1.83, 1.91, 1.76, 1.77, 1.89]
population_mean = 1.80

statistic, p_value = ttest_1samp(data, population_mean)
print(f"t 统计量: {statistic}, p 值: {p_value}")

5. 中心极限定理 (CLT)

CLT 指出，无论总体分布如何，样本均值的分布都随着样本量的增加而趋近于正态分布。

Python 示例：

sample_means = [np.mean(np.random.randint(1, 100, 30)) for _ in range(1000)]
plt.hist(sample_means, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='b')
plt.title('中心极限定理')
plt.show()

结语

本周，我们对统计学这门引人入胜（有时也略显枯燥）的学科进行了深入探索。从数据概述到概率分布再到统计推断，这是一段充满收获的学习旅程。让我们继续探索数据科学的奥秘，一起披荆斩棘！

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