周统计

聖光之護
发布: 2025-01-09 12:37:33
原创
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周统计

一周统计学速成:一场略带讽刺的深度探索

本周,我们将深入浅出地探讨统计学的核心概念,力求以严谨的技术手法解释基本原理,并辅以轻松的讽刺,让学习过程更轻松有趣。本文将详细分解我的统计学习之旅,涵盖理论知识、实际案例和 Python 代码实现。

1. 描述性统计:数据概述

描述性统计是将原始数据进行总结和整理,使其更易于理解和解释的工具。它是数据分析的第一步,为后续分析奠定基础。

数据类型

  1. 名义数据:
    • 定性数据,类别之间无序。
    • 例如:颜色(红、绿、蓝)、品牌(苹果、三星)。
    • 可进行的操作:计数、众数计算。
  2. 顺序数据:
    • 定性数据,类别之间有顺序,但数值差异无法衡量。
    • 例如:教育程度(高中、本科、研究生)、满意度等级(差、一般、好)。
    • 可进行的操作:排名、中位数计算。
  3. 区间数据:
    • 定量数据,数值差异有意义,但无绝对零点。
    • 例如:温度(摄氏度、华氏度)。
    • 可进行的操作:加法、减法。
  4. 比率数据:
    • 定量数据,数值差异有意义,有绝对零点。
    • 例如:体重、身高、收入。
    • 可进行的操作:所有算术运算。

集中趋势度量

  • 平均数: 数据值的算术平均值。
  • 中位数: 排序后数据集中间的数值。
  • 众数: 数据集中出现频率最高的数值。

Python 示例:

import numpy as np
from scipy import stats

# 样本数据
data = [12, 15, 14, 10, 12, 17, 18]

mean = np.mean(data)
median = np.median(data)
mode = stats.mode(data).mode[0]

print(f"平均数: {mean}, 中位数: {median}, 众数: {mode}")
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2. 离散度度量:展现数据波动

集中趋势度量展现了数据的中心位置,而离散度度量则反映了数据的离散程度或波动性。

关键指标

  1. 方差 (σ² 表示总体,s² 表示样本):
    • 数据与平均值的平均平方差。
    • 总体方差公式:σ² = Σ(xᵢ - μ)² / n
    • 样本方差公式:s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
  2. 标准差 (σ 表示总体,s 表示样本):
    • 方差的平方根,与数据具有相同的单位。
  3. 偏度:
    • 描述数据分布的不对称性。
    • 正偏斜:尾部向右延伸。
    • 负偏斜:尾部向左延伸。

Python 示例:

std_dev = np.std(data, ddof=1)  # 样本标准差
variance = np.var(data, ddof=1)  # 样本方差

print(f"标准差: {std_dev}, 方差: {variance}")
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3. 概率分布:数据行为模型

概率分布描述了随机变量取值的概率分布情况。

概率函数

  1. 概率质量函数 (PMF):
    • 用于离散随机变量。
    • 例如:掷骰子。
  2. 概率密度函数 (PDF):
    • 用于连续随机变量。
    • 例如:人的身高。
  3. 累积分布函数 (CDF):
    • 表示随机变量取值小于或等于某个值的概率。

Python 示例:

from scipy.stats import norm

# 正态分布的 PDF 和 CDF
x = np.linspace(-3, 3, 100)
pdf = norm.pdf(x, loc=0, scale=1)
cdf = norm.cdf(x, loc=0, scale=1)

print(f"x=1 处的 PDF: {norm.pdf(1)}")
print(f"x=1 处的 CDF: {norm.cdf(1)}")
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分布类型

  1. 正态/高斯分布:
    • 对称的钟形曲线。
    • 例如:身高、考试成绩。
  2. 二项分布:
    • n 次独立伯努利试验中成功的次数。
    • 例如:抛硬币。
  3. 泊松分布:
    • 固定时间间隔内事件发生次数的概率。
    • 例如:每小时收到的邮件数量。
  4. 对数正态分布:
    • 对数服从正态分布的变量的分布。
  5. 幂律分布:
    • 例如:财富分配、互联网流量。

正态分布的 Python 示例:

import matplotlib.pyplot as plt
samples = np.random.normal(0, 1, 1000)
plt.hist(samples, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')
plt.title('正态分布')
plt.show()
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4. 推断统计:从样本推断总体

推断统计允许我们根据样本数据对总体进行推断。

关键概念

  1. 点估计:
    • 参数的最佳单点估计值。
  2. 置信区间:
    • 参数可能取值的范围。
  3. 假设检验:
    • 原假设 (H₀): 默认假设。
    • 备择假设 (Hₐ): 要检验的假设。
    • p 值: 在原假设成立的情况下,观察到当前结果或更极端结果的概率。
  4. t 分布:
    • 用于小样本的情况。

假设检验的 Python 示例:

from scipy.stats import ttest_1samp

# 样本数据
data = [1.83, 1.91, 1.76, 1.77, 1.89]
population_mean = 1.80

statistic, p_value = ttest_1samp(data, population_mean)
print(f"t 统计量: {statistic}, p 值: {p_value}")
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5. 中心极限定理 (CLT)

CLT 指出,无论总体分布如何,样本均值的分布都随着样本量的增加而趋近于正态分布。

Python 示例:

sample_means = [np.mean(np.random.randint(1, 100, 30)) for _ in range(1000)]
plt.hist(sample_means, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='b')
plt.title('中心极限定理')
plt.show()
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结语

本周,我们对统计学这门引人入胜(有时也略显枯燥)的学科进行了深入探索。从数据概述到概率分布再到统计推断,这是一段充满收获的学习旅程。让我们继续探索数据科学的奥秘,一起披荆斩棘!

以上就是周统计的详细内容,更多请关注php中文网其它相关文章!

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