曲线积分变量替换：如何巧妙地将$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$转化为$int_0^{rac{pi}{2}}sin^2tdt$？

曲线积分变量替换技巧详解

在计算曲线积分时，巧妙的变量替换往往能显著简化计算过程。本文将通过一个例子，详细讲解如何将积分$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$转化为$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$。

问题： 如何进行变量替换，将积分$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$转化为$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$? 直接使用极坐标替换并不能得到正确结果。

解答： 这里并非极坐标变换，而是简单的三角替换法。关键在于选择合适的替换变量。

观察被积函数$\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}$，注意到分母中的$1-y^2$与三角恒等式$\sin^2t + \cos^2t = 1$ 类似。因此，我们选择替换变量$y = \sin t$。

由于积分区间为$y \in (0, 1)$，则对应的$t$的区间为$t \in (0, \frac{\pi}{2})$。在这个区间内，$\sin t$和$\cos t$均为正数。

进行替换后，有：

$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}} d(\sin t)$

由于$d(\sin t) = \cos t dt$，且$\sqrt{1-\sin^2t} = \cos t$ (在$t \in (0, \frac{\pi}{2})$时)，则上式可化简为：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos t} \cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$

这样就完成了积分的转化。 关键在于正确计算$d(\sin t)$并利用三角恒等式化简表达式。 选择$y = \sin t$ 的替换正是基于对被积函数形式的观察和三角恒等式的运用。

以上就是曲线积分变量替换：如何巧妙地将$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$转化为$int_0^{rac{pi}{2}}sin^2tdt$？的详细内容，更多请关注php中文网其它相关文章！