总结
关于曲线积分变量替换的探讨
本文分析一个曲线积分问题中变量替换的技巧，解答中并非采用极坐标变换，而是利用三角函数代换简化积分计算。
原积分式为：$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$
解答采用如下换元法：令 $y = \sin(t)$。由于积分区间 $y \in (0, 1)$，则 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$。在这个区间内，$\sin(t)$ 和 $\cos(t)$ 均为正值。
代入换元后，积分式变为：
$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}}d(\sin t)$
由于 $d(\sin t) = \cos t dt$，且 $\sqrt{1 - \sin^2t} = \cos t$ (在 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 区间内)，积分式可简化为：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos t}\cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$
通过 $y = \sin(t)$ 的代换，巧妙地消去了根号，简化了积分计算。 这体现了选择恰当的变量替换在简化积分过程中的重要性。 与极坐标变换相比，此方法更直接有效地解决了该特定积分问题。 关键在于合理选择换元变量并正确处理积分限和微分元素。
以上就是曲线积分换元：为什么用y=sin(t)替换而非极坐标变换？的详细内容，更多请关注php中文网其它相关文章！
每个人都需要一台速度更快、更稳定的 PC。随着时间的推移，垃圾文件、旧注册表数据和不必要的后台进程会占用资源并降低性能。幸运的是，许多工具可以让 Windows 保持平稳运行。
广告![ThinkPHP5快速开发企业站点[全程实录]](https://img.php.cn/upload/course/000/000/068/6253d918a3ce7278.png)
收藏
收藏
Copyright 2014-2025 https://www.php.cn/ All Rights Reserved | php.cn | 湘ICP备2023035733号
下载豆包电脑版，提高工作效率
590
