一、请在图25-2上使用johnson算法来找到所有结点对之间的最短路径。给出算法计算出的 和值。如果要写代码，请用go语言。
chatgpt：为了使用Johnson算法计算所有节点对之间的最短路径，我们需要完成以下几个步骤：
1. 构建图：将给定的图转换为包含所有边的邻接表或邻接矩阵形式。2. 添加源节点：增加一个虚拟源节点，这个节点与图中所有其他节点连边。3. 使用Bellman-Ford算法：计算虚拟源节点到所有其他节点的最短路径，以获得重新加权的权重。4. 重加权图：根据Bellman-Ford的输出值调整图中所有边的权重。5. 使用Dijkstra算法：对每个节点使用Dijkstra算法计算最短路径。6. 恢复原始权重：将重加权后的路径转换回原始权重。下面是Go语言实现Johnson算法的示例代码：
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<code class="javascript">package mainimport ( "fmt" "math")const INF = math.MaxInt64type Edge struct { u, v, w int}func bellmanFord(edges []Edge, n, src int) ([]int, bool) { dist := make([]int, n) for i := range dist { dist[i] = INF } dist[src] = 0 for i := 0; i < n-1; i++ { for _, edge := range edges { if dist[edge.u] != INF && dist[edge.u]+edge.w < dist[edge.v] { dist[edge.v] = dist[edge.u] + edge.w } } } for _, edge := range edges { if dist[edge.u] != INF && dist[edge.u]+edge.w < dist[edge.v] { returnnil, false// 负权重环 } } return dist, true}func dijkstra(graph [][]int, n, src int) []int { dist := make([]int, n) for i := range dist { dist[i] = INF } dist[src] = 0 visited := make([]bool, n) for i := 0; i < n; i++ { minDist := INF u := -1 for j := 0; j < n; j++ { if !visited[j] && dist[j] < minDist { minDist = dist[j] u = j } } if u == -1 { break// 所有节点都已访问 } visited[u] = true for v, w := range graph[u] { if w != INF && dist[u]+w < dist[v] { dist[v] = dist[u] + w } } } return dist}func johnsonAlgorithm(n int, edges []Edge) ([][]int, []int) { // Step 1: Add virtual source node newEdges := append(edges, Edge{u: n, v: 0, w: 0}) // 与新源连接的所有边 for i := 1; i < n; i++ { newEdges = append(newEdges, Edge{u: n, v: i, w: 0}) } // Step 2: Run Bellman-Ford to find h values h, valid := bellmanFord(newEdges, n+1, n) // 从新源节点开始 if !valid { fmt.Println("图中存在负权环") returnnil, nil } // Step 3: Create re-weighted graph reweightedGraph := make([][]int, n) for i := 0; i < n; i++ { reweightedGraph[i] = make([]int, n) for j := range reweightedGraph[i] { reweightedGraph[i][j] = INF } } for _, edge := range edges { reweightedGraph[edge.u][edge.v] = edge.w + h[edge.u] - h[edge.v] } // Step 4: Run Dijkstra for each vertex allPairsShortestPath := make([][]int, n) for i := 0; i < n; i++ { allPairsShortestPath[i] = dijkstra(reweightedGraph, n, i) for v := 0; v < n; v++ { if allPairsShortestPath[i][v] < INF { // 恢复原始权重 allPairsShortestPath[i][v] += h[v] - h[i] } } } return allPairsShortestPath, h}func main() { n := 5 edges := []Edge{ {0, 1, -1}, {0, 2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {1, 4, 2}, {3, 1, 1}, {3, 4, -1}, {4, 0, 2}, {4, 3, 3}, } distances, h := johnsonAlgorithm(n, edges) if distances != nil { fmt.Println("各结点对之间的最短路径:") for i := range distances { for j := range distances[i] { if distances[i][j] == INF { fmt.Printf("从 %d 到 %d 的最短路径为: 无穷大\n", i, j) } else { fmt.Printf("从 %d 到 %d 的最短路径为: %d\n", i, j, distances[i][j]) } } } fmt.Println("h 值:", h) }}</code>Edge结构体用来表示边。• bellmanFord函数实现Bellman-Ford算法，计算从源节点的最短路径。• dijkstra函数实现Dijkstra算法，用于计算重加权图中从每个节点到其他节点的最短路径。• johnsonAlgorithm函数首先添加虚拟源节点，然后调用Bellman-Ford，接着重加权边，最后对每个节点使用Dijkstra计算最短路径。• main函数中定义了一个图并调用Johnson算法，并输出各节点对之间的最短路径和h值。请根据需要调整输入数据和节点数n。
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在这里插入图片描述Johnson算法通过重新赋予权重来消除负权边，从而允许使用Dijkstra算法找到所有结点对的最短路径。以下是算法的关键步骤和示例计算：
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步骤说明：1. 添加虚拟节点：引入新节点s，并添加从s到所有原节点的边，权重为0。2. 计算调整权重h(v)：使用Bellman-Ford算法计算从s到所有节点的最短路径，结果记为h(v)。3. 调整边权：对每条边(u, v)，计算新的权重ŵ(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)，确保ŵ非负。4. 运行Dijkstra：对每个节点使用调整后的权重ŵ运行Dijkstra，得到最短路径后恢复原始权重。示例计算（假设图结构）：假设图包含三个节点A、B、C，边如下：
• A→B: 2• B→C: -1• C→A: 3步骤1：Bellman-Ford计算h值
• 初始化h值为0。• 松弛后得到h(A)=0, h(B)=0, h(C)=-1。步骤2：计算调整后的权重ŵ：
• A→B: 2 + 0 - 0 = 2• B→C: -1 + 0 - (-1) = 0• C→A: 3 + (-1) - 0 = 2Go代码实现：代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">package mainimport ( "container/heap" "fmt" "math")type Edge struct { to int weight int}func Johnson(n int, edges [][]Edge) ([]int, [][]Edge, bool) { // 添加虚拟节点0，连接到所有原节点（1~n） augmentedEdges := make([][]Edge, n+1) for i := 1; i <= n; i++ { augmentedEdges[0] = append(augmentedEdges[0], Edge{i, 0}) } for u := 1; u <= n; u++ { augmentedEdges[u] = append(augmentedEdges[u], edges[u-1]...) } // 步骤1：Bellman-Ford计算h h := make([]int, n+1) for i := range h { h[i] = math.MaxInt32 } h[0] = 0 for i := 0; i < n; i++ { // 松弛n次 for u := 0; u <= n; u++ { if h[u] == math.MaxInt32 { continue } for _, e := range augmentedEdges[u] { if h[e.to] > h[u]+e.weight { h[e.to] = h[u] + e.weight } } } } // 检测负环 for u := 0; u <= n; u++ { for _, e := range augmentedEdges[u] { if h[e.to] > h[u]+e.weight { returnnil, nil, false// 存在负环 } } } // 步骤2：调整权重 adjustedEdges := make([][]Edge, n) for u := 0; u < n; u++ { for _, e := range edges[u] { v := e.to - 1// 原节点从0开始 w := e.weight + h[u+1] - h[v+1] if w < 0 { panic("调整后的权重不应为负") } adjustedEdges[u] = append(adjustedEdges[u], Edge{v, w}) } } return h[1:], adjustedEdges, true}// Dijkstra优先队列实现type Item struct { node int dist int index int}type PriorityQueue []*Itemfunc (pq PriorityQueue) Len() int { returnlen(pq) }func (pq PriorityQueue) Less(i, j int) bool { return pq[i].dist < pq[j].dist }func (pq PriorityQueue) Swap(i, j int) { pq[i], pq[j] = pq[j], pq[i] pq[i].index = i pq[j].index = j}func (pq *PriorityQueue) Push(x interface{}) { item := x.(*Item) item.index = len(*pq) *pq = append(*pq, item)}func (pq *PriorityQueue) Pop() interface{} { old := *pq n := len(old) item := old[n-1] old[n-1] = nil item.index = -1 *pq = old[:n-1] return item}func Dijkstra(n, start int, adj [][]Edge) []int { dist := make([]int, n) for i := range dist { dist[i] = math.MaxInt32 } dist[start] = 0 pq := make(PriorityQueue, 0) heap.Push(&pq, &Item{start, 0, 0}) for pq.Len() > 0 { item := heap.Pop(&pq).(*Item) u := item.node if dist[u] < item.dist { continue } for _, e := range adj[u] { v := e.to if dist[v] > dist[u]+e.weight { dist[v] = dist[u] + e.weight heap.Push(&pq, &Item{v, dist[v], 0}) } } } return dist}func main() { n := 3 edges := [][]Edge{ {{1, 2}}, // A->B {{2, -1}}, // B->C {{0, 3}}, // C->A } h, adjustedEdges, ok := Johnson(n, edges) if !ok { fmt.Println("存在负权环") return } fmt.Println("h值:", h) fmt.Println("调整后的边权:") for u := range adjustedEdges { for _, e := range adjustedEdges[u] { fmt.Printf("%d->%d: %d\n", u, e.to, e.weight) } }}</code>[0, 0, -1]。• 调整后的权重ŵ：所有边权为非负数，例如A→B调整为2，B→C为0，C→A为2。该代码实现了Johnson算法，计算h值和调整后的权重，并验证无负权环后输出结果。
通义千问：要使用Johnson算法来找到图中所有节点对之间的最短路径，我们首先需要了解Johnson算法的基本步骤。Johnson算法是一种用于寻找加权有向图中所有节点对之间最短路径的算法。它结合了Bellman-Ford算法和Dijkstra算法的优点，能够有效地处理边权重可以为负的情况，但不允许存在负权重环。
Johnson算法的主要步骤如下：
1. 添加一个新的起点：向图中添加一个新节点（称为源节点），并从这个新节点到图中的每个原有节点添加一条权重为0的边。2. 运行Bellman-Ford算法：从新增的源节点出发运行Bellman-Ford算法，计算出每个节点的值，即从新增源节点到的最短路径长度。这一步还可以检测图中是否存在负权重环。3. 重新加权：对于原图中的每条边，计算新的权重。这样做的目的是消除图中的负权重边。4. 移除新增节点及其关联边：删除第一步中添加的新节点及所有与之相连的边。5. 对每个节点运行Dijkstra算法：在重新加权后的图上，以每个节点作为起点分别运行Dijkstra算法，找出该起点至其他所有节点的最短路径。由于您提到的是“图25-2”，但是没有提供具体的图信息或数据，因此无法直接给出针对该特定图的值和值。不过，我可以提供一个基于上述步骤的Go语言代码框架，您可以根据实际情况填充图的数据。
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">package mainimport ( "container/heap" "fmt")type Edge struct { to, weight int}type Graph map[int][]Edgefunc BellmanFord(graph Graph, source int) []int { dist := make([]int, len(graph)) for i := range dist { dist[i] = 1<<31 - 1// Initialize distances to infinity } dist[source] = 0 for i := 1; i < len(graph); i++ { for u, edges := range graph { for _, edge := range edges { if dist[u] != 1<<31-1 && dist[u]+edge.weight < dist[edge.to] { dist[edge.to] = dist[u] + edge.weight } } } } return dist}// Dijkstra's algorithm implementation goes here...func Johnson(graph Graph) { // Add a new source node and run Bellman-Ford... h := BellmanFord(graph, /* your new source node */) // Re-weight the graph... // Implement the re-weighting logic based on h values // Remove the added source node and its edges... // Run Dijkstra for each node as source in the modified graph...}func main() { graph := make(Graph) // Fill in your graph data here... Johnson(graph)}</code>请注意，此代码仅提供了一个框架，您需要根据具体问题调整细节，例如如何表示图、如何实现Dijkstra算法等。此外，您还需要根据实际图的数据来计算具体的和值。
豆包：Johnson算法概述Johnson算法用于在一个带权有向图中找到所有结点对之间的最短路径，即使图中存在负权边，但不能有负权回路。该算法结合了Bellman - Ford算法和Dijkstra算法，主要步骤如下：
1. 添加虚拟结点：在图中添加一个虚拟结点 ，并从 到图中每个结点添加一条权值为 0 的边。2. 运行Bellman - Ford算法：以虚拟结点 为源点，运行Bellman - Ford算法，检测图中是否存在负权回路。如果存在负权回路，则算法终止；否则，得到每个结点 到源点 的最短路径距离 。3. 重新赋权：对于图中的每条边 ，计算新的权值 ，其中 是原边的权值。4. 运行Dijkstra算法：对图中每个结点 ，以 为源点，使用Dijkstra算法计算到其他所有结点的最短路径。5. 恢复最短路径长度：对于每个结点对 ，将Dijkstra算法得到的最短路径长度 恢复为原图中的最短路径长度 。Go语言实现代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">package mainimport ( "container/heap" "fmt" "math")// Edge 表示图中的边type Edge struct { to int weight int}// Graph 表示图type Graph struct { vertices int adj [][]Edge}// NewGraph 创建一个新的图func NewGraph(vertices int) *Graph { return &Graph{ vertices: vertices, adj: make([][]Edge, vertices), }}// AddEdge 添加一条边到图中func (g *Graph) AddEdge(u, v, weight int) { g.adj[u] = append(g.adj[u], Edge{to: v, weight: weight})}// BellmanFord 实现Bellman - Ford算法func (g *Graph) BellmanFord(source int) ([]int, bool) { dist := make([]int, g.vertices) for i := range dist { dist[i] = math.MaxInt32 } dist[source] = 0 for i := 0; i < g.vertices-1; i++ { for u := 0; u < g.vertices; u++ { for _, edge := range g.adj[u] { v := edge.to weight := edge.weight if dist[u] != math.MaxInt32 && dist[u]+weight < dist[v] { dist[v] = dist[u] + weight } } } } // 检测负权回路 for u := 0; u < g.vertices; u++ { for _, edge := range g.adj[u] { v := edge.to weight := edge.weight if dist[u] != math.MaxInt32 && dist[u]+weight < dist[v] { returnnil, false } } } return dist, true}// Item 用于优先队列type Item struct { value int priority int index int}// PriorityQueue 实现优先队列type PriorityQueue []*Itemfunc (pq PriorityQueue) Len() int { returnlen(pq) }func (pq PriorityQueue) Less(i, j int) bool { return pq[i].priority < pq[j].priority}func (pq PriorityQueue) Swap(i, j int) { pq[i], pq[j] = pq[j], pq[i] pq[i].index = i pq[j].index = j}func (pq *PriorityQueue) Push(x interface{}) { n := len(*pq) item := x.(*Item) item.index = n *pq = append(*pq, item)}func (pq *PriorityQueue) Pop() interface{} { old := *pq n := len(old) item := old[n-1] old[n-1] = nil// 避免内存泄漏 item.index = -1// 表示已出队 *pq = old[0 : n-1] return item}// Dijkstra 实现Dijkstra算法func (g *Graph) Dijkstra(source int, h []int) []int { dist := make([]int, g.vertices) for i := range dist { dist[i] = math.MaxInt32 } dist[source] = 0 pq := make(PriorityQueue, 0) heap.Init(&pq) heap.Push(&pq, &Item{value: source, priority: 0}) for pq.Len() > 0 { u := heap.Pop(&pq).(*Item).value for _, edge := range g.adj[u] { v := edge.to weight := edge.weight + h[u] - h[v] if dist[u] != math.MaxInt32 && dist[u]+weight < dist[v] { dist[v] = dist[u] + weight heap.Push(&pq, &Item{value: v, priority: dist[v]}) } } } return dist}// Johnson 实现Johnson算法func (g *Graph) Johnson() ([][]int, []int, [][]int, bool) { // 添加虚拟结点 newGraph := NewGraph(g.vertices + 1) for u := 0; u < g.vertices; u++ { for _, edge := range g.adj[u] { newGraph.AddEdge(u, edge.to, edge.weight) } newGraph.AddEdge(g.vertices, u, 0) } // 运行Bellman - Ford算法 h, ok := newGraph.BellmanFord(g.vertices) if!ok { returnnil, nil, nil, false } h = h[:g.vertices] // 重新赋权 weightPrime := make([][]int, g.vertices) for u := 0; u < g.vertices; u++ { weightPrime[u] = make([]int, g.vertices) for _, edge := range g.adj[u] { v := edge.to weightPrime[u][v] = edge.weight + h[u] - h[v] } } // 运行Dijkstra算法 dist := make([][]int, g.vertices) for u := 0; u < g.vertices; u++ { dist[u] = g.Dijkstra(u, h) // 恢复最短路径长度 for v := 0; v < g.vertices; v++ { if dist[u][v] != math.MaxInt32 { dist[u][v] -= h[u] - h[v] } } } return dist, h, weightPrime, true}func main() { // 这里需要根据图25 - 2的具体信息创建图 // 假设图有4个结点 g := NewGraph(4) // 添加边，这里需要替换为图25 - 2的实际边信息 g.AddEdge(0, 1, 1) g.AddEdge(1, 2, -2) g.AddEdge(2, 3, 3) g.AddEdge(3, 0, -4) dist, h, weightPrime, ok := g.Johnson() if!ok { fmt.Println("图中存在负权回路") return } fmt.Println("h值:") fmt.Println(h) fmt.Println("重新赋权后的权值 w':") for u := 0; u < g.vertices; u++ { for v := 0; v < g.vertices; v++ { if weightPrime[u][v] != 0 { fmt.Printf("w'(%d, %d) = %d\n", u, v, weightPrime[u][v]) } } } fmt.Println("所有结点对之间的最短路径长度:") for u := 0; u < g.vertices; u++ { for v := 0; v < g.vertices; v++ { if dist[u][v] != math.MaxInt32 { fmt.Printf("d(%d, %d) = %d\n", u, v, dist[u][v]) } } }}</code>main 函数中，需要根据图25 - 2的具体信息创建图并添加边。• 如果图中存在负权回路，程序将输出提示信息并终止。文心一言：Johnson算法是一种用于计算所有结点对之间最短路径的算法，它适用于带负权重的图，但不允许有负权重环。算法的基本思想是使用Bellman-Ford算法预处理每个结点，然后应用Dijkstra算法来计算最短路径。
下面是使用Go语言实现Johnson算法的代码，并在最后给出计算出的值和值。
假设图25-2是一个如下的加权有向图：
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">A -2-> BA 1-> CB 4-> CB 2-> DC 1-> DD 3-> C</code>
下面是Go语言的实现：
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">package mainimport ( "container/heap" "fmt" "math")// Edge represents an edge in the graphtype Edge struct { to, weight int}// Graph represents a weighted directed graphtype Graph struct { vertices int edges [][]Edge}// NewGraph creates a new graph with the given number of verticesfunc NewGraph(vertices int) *Graph { return &Graph{vertices: vertices, edges: make([][]Edge, vertices)}}// AddEdge adds an edge to the graphfunc (g *Graph) AddEdge(from, to, weight int) { g.edges[from] = append(g.edges[from], Edge{to, weight})}// PriorityQueueItem represents an item in the priority queuetype PriorityQueueItem struct { vertex, distance int index int}// PriorityQueue implements heap.Interface and holds PriorityQueueItemstype PriorityQueue []*PriorityQueueItemfunc (pq PriorityQueue) Len() int { returnlen(pq) }func (pq PriorityQueue) Less(i, j int) bool { return pq[i].distance < pq[j].distance}func (pq PriorityQueue) Swap(i, j int) { pq[i], pq[j] = pq[j], pq[i] pq[i].index = i pq[j].index = j}func (pq *PriorityQueue) Push(x interface{}) { n := len(*pq) item := x.(*PriorityQueueItem) item.index = n *pq = append(*pq, item)}func (pq *PriorityQueue) Pop() interface{} { old := *pq n := len(old) item := old[n-1] old[n-1] = nil// avoid memory leak item.index = -1// for safety *pq = old[0 : n-1] return item}// johnson implements the Johnson's algorithm to find all-pairs shortest pathsfunc (g *Graph) johnson() ([]int, [][]int) { h := make([]int, g.vertices) for i := range h { h[i] = math.MaxInt32 } // Create a new graph with an additional vertex newGraph := NewGraph(g.vertices + 1) for i := 0; i < g.vertices; i++ { for _, edge := range g.edges[i] { newGraph.AddEdge(i, edge.to, edge.weight) } newGraph.AddEdge(g.vertices, i, 0) newGraph.edges[i] = append(newGraph.edges[i], Edge{g.vertices, 0}) } // Run Bellman-Ford from the new vertex distances := make([]int, g.vertices+1) for i := range distances { distances[i] = math.MaxInt32 } distances[g.vertices] = 0 for i := 0; i < g.vertices; i++ { for v := 0; v <= g.vertices; v++ { if distances[v] == math.MaxInt32) { continue } for _, edge := range newGraph.edges[v] { if distances[edge.to] > distances[v]+edge.weight { distances[edge.to] = distances[v] + edge.weight } } } } // Check for negative weight cycles for i := 0; i < g.vertices; i++ { if distances[i] == math.MaxInt32 { fmt.Println("Graph contains a negative weight cycle") returnnil, nil } } // Compute the h values for i := 0; i < g.vertices; i++ { h[i] = -distances[i] } // Recompute shortest paths using Dijkstra allPairs := make([][]int, g.vertices) for i := range allPairs { allPairs[i] = make([]int, g.vertices) for j := range allPairs[i] { allPairs[i][j] = math.MaxInt32 } allPairs[i][i] = 0 } for i := 0; i < g.vertices; i++ { pq := make(PriorityQueue, 0, g.vertices) heap.Init(&pq) heap.Push(&pq, &PriorityQueueItem{vertex: i, distance: 0}) distances := make([]int, g.vertices) for j := range distances { distances[j] = math.MaxInt32 } distances[i] = 0 for pq.Len() > 0 { item := heap.Pop(&pq).(*PriorityQueueItem) u := item.vertex if distances[u] > item.distance { continue } for _, edge := range g.edges[u] { alt := distances[u] + edge.weight + h[u] - h[edge.to] if alt < distances[edge.to] { distances[edge.to] = alt heap.Push(&pq, &PriorityQueueItem{vertex: edge.to, distance: alt}) } } } for j := 0; j < g.vertices; j++ { allPairs[i][j] = distances[j] + h[j] - h[i] } } return h, allPairs}func main() { g := NewGraph(5) g.AddEdge(0, 1, -2) g.AddEdge(0, 2, 1) g.AddEdge(1, 2, 4) g.AddEdge(1, 3, 2) g.AddEdge(2, 3, 1) g.AddEdge(3, 2, 3) h, allPairs := g.johnson() fmt.Println("h values:", h) fmt.Println("All-pairs shortest paths:") for i, row := range allPairs { for j, dist := range row { if dist == math.MaxInt32 { fmt.Printf("∞ ") } else { fmt.Printf("%d ", dist) } } fmt.Println() }}</code>运行代码后，你会得到所有结点对之间的最短路径长度以及h值。注意，如果图包含负权重环，代码会输出提示信息。
在上面的例子中，图没有负权重环，因此算法会成功输出所有结点对之间的最短路径。
讯飞星火：Johnson算法是一种用于计算加权有向图中所有节点对之间最短路径的算法。它的时间复杂度为O(V^2 log V + VE)，其中V是顶点数，E是边数。
为了使用Johnson算法，我们需要以下步骤：
1. 添加一个虚拟源点s，并从s到所有其他顶点的边权重设为0。2. 使用Bellman-Ford算法计算从虚拟源点s到所有其他顶点的最短路径，得到h值。3. 重新定义边的权重：对于每条边(u, v)，新的权重w'(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)。4. 使用Dijkstra算法计算从每个顶点出发到所有其他顶点的最短路径，得到值。5. 最后，通过公式d(u, v) = 恢复原始图中的最短路径。假设我们有一个图如图25-2所示，我们可以使用Go语言实现Johnson算法。以下是代码示例：
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">package mainimport ( "fmt" "math")const INF = math.MaxFloat64type Edge struct { from, to int weight float64}type Graph struct { vertices int edges []Edge}func NewGraph(vertices int) *Graph { return &Graph{vertices: vertices}}func (g *Graph) AddEdge(from, to int, weight float64) { g.edges = append(g.edges, Edge{from, to, weight})}func BellmanFord(g *Graph, src int) ([]float64, bool) { dist := make([]float64, g.vertices) for i := range dist { dist[i] = INF } dist[src] = 0 for i := 0; i < g.vertices-1; i++ { for _, edge := range g.edges { if dist[edge.from] != INF && dist[edge.from]+edge.weight < dist[edge.to] { dist[edge.to] = dist[edge.from] + edge.weight } } } for _, edge := range g.edges { if dist[edge.from] != INF && dist[edge.from]+edge.weight < dist[edge.to] { returnnil, false// Negative cycle detected } } return dist, true}func Dijkstra(g *Graph, src int) []float64 { dist := make([]float64, g.vertices) visited := make([]bool, g.vertices) for i := range dist { dist[i] = INF } dist[src] = 0 for i := 0; i < g.vertices; i++ { u := -1 for v := 0; v < g.vertices; v++ { if !visited[v] && (u == -1 || dist[v] < dist[u]) { u = v } } visited[u] = true for _, edge := range g.edges { if edge.from == u && dist[u]+edge.weight < dist[edge.to] { dist[edge.to] = dist[u] + edge.weight } } } return dist}func Johnson(g *Graph) ([][]float64, []float64) { // Step 1: Add a virtual source node and edges with zero weight from it to all other nodes g.AddEdge(g.vertices, g.vertices+1, 0) for i := 0; i < g.vertices; i++ { g.AddEdge(g.vertices+1, i, 0) } // Step 2: Run Bellman-Ford from the virtual source node to get h values h, ok := BellmanFord(g, g.vertices+1) if !ok { fmt.Println("Graph contains a negative weight cycle") returnnil, nil } // Step 3: Reweight the graph using h values reweightedEdges := make([]Edge, len(g.edges)) copy(reweightedEdges, g.edges) for i := range reweightedEdges { reweightedEdges[i].weight += h[reweightedEdges[i].from] - h[reweightedEdges[i].to] } // Create a new graph with reweighted edges newG := NewGraph(g.vertices) newG.edges = reweightedEdges // Step 4: Run Dijkstra for each node to get shortest paths in the reweighted graph allPairShortestPaths := make([][]float64, g.vertices) for i := 0; i < g.vertices; i++ { allPairShortestPaths[i] = Dijkstra(newG, i) } // Step 5: Restore the original distances using h values originalDistances := make([][]float64, g.vertices) for i := 0; i < g.vertices; i++ { originalDistances[i] = make([]float64, g.vertices) for j := 0; j < g.vertices; j++ { originalDistances[i][j] = allPairShortestPaths[i][j] + h[j] - h[i] } } return originalDistances, h}func main() { // Example usage: create a graph and add edges as per your specific graph structure g := NewGraph(5) // Assuming there are 5 nodes in the graph g.AddEdge(0, 1, 3) g.AddEdge(0, 2, 8) g.AddEdge(1, 2, 1) g.AddEdge(1, 3, 7) g.AddEdge(2, 3, 4) g.AddEdge(3, 4, 2) distances, h := Johnson(g) fmt.Println("All pairs shortest paths:") for i := range distances { fmt.Printf("%v\n", distances[i]) } fmt.Println("h values:", h)}</code>在这个代码中，我们首先创建了一个包含5个节点的图，并添加了一些边。然后我们调用Johnson函数来计算所有节点对之间的最短路径以及h值。最后，我们打印出所有节点对之间的最短路径和h值。
为了使用Johnson算法找到图中所有节点对之间的最短路径，我们首先需要理解Johnson算法的基本步骤。Johnson算法结合了Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，适用于有向图，可以处理负权重边（但不允许存在负权重环）。以下是Johnson算法的主要步骤：
1. 添加一个新源点：给原图增加一个新的源点，并从这个新源点到每个顶点都添加一条权重为0的边。2. 运行Bellman-Ford算法：从新增加的源点开始运行Bellman-Ford算法，以检测是否存在负权重环，并计算每个顶点的最短路径估计值。3. 重赋权：利用步骤2中得到的值重新定义每条边的权重。4. 运行Dijkstra算法：对于每个顶点作为起点，使用新的权重运行Dijkstra算法来找到从该顶点到其他所有顶点的最短路径。5. 恢复原始路径长度：将通过Dijkstra算法得到的最短路径长度转换回原始图中的路径长度。假设图25-2是一个具体的例子，但由于这里没有提供具体的图数据，我将构造一个简单的例子来进行说明。我们将创建一个包含4个节点的简单图，其中包含一些正权重和负权重的边。
示例图设有一个图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4}，E={(1,2,3), (1,3,8), (2,3,-7), (2,4,1), (3,4,4)}，这里的每条边后面跟着的是边的权重。
Go语言实现代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">package mainimport ( "fmt" "math")type Edge struct { from int to int weight float64}func main() { edges := []Edge{ {1, 2, 3}, {1, 3, 8}, {2, 3, -7}, {2, 4, 1}, {3, 4, 4}, } n := 4// 节点数量 // Step 1 & 2: Add a new source and run Bellman-Ford h := bellmanFord(n+1, append(edges, Edge{0, 1, 0}, Edge{0, 2, 0}, Edge{0, 3, 0}, Edge{0, 4, 0})) // Step 3: Re-weight the edges newEdges := make([]Edge, len(edges)) for i, e := range edges { newEdges[i] = Edge{e.from, e.to, e.weight + h[e.from] - h[e.to]} } // Step 4: Run Dijkstra for each vertex dist := make([][]float64, n) for i := range dist { dist[i] = dijkstra(n, newEdges, i+1) } // Step 5: Restore original path lengths for i := range dist { for j := range dist[i] { if !math.IsInf(dist[i][j], 0) { dist[i][j] -= h[i+1] - h[j+1] } } } fmt.Println("Shortest paths between all pairs of vertices:") for i := range dist { fmt.Printf("From %d: %v\n", i+1, dist[i]) }}func bellmanFord(n int, edges []Edge) []float64 { dist := make([]float64, n) for i := range dist { dist[i] = math.Inf(1) } dist[0] = 0 for i := 0; i < n-1; i++ { for _, e := range edges { if dist[e.from]+e.weight < dist[e.to] { dist[e.to] = dist[e.from] + e.weight } } } return dist[1:]}func dijkstra(n int, edges []Edge, start int) []float64 { dist := make([]float64, n) for i := range dist { dist[i] = math.Inf(1) } dist[start-1] = 0 unvisited := make(map[int]bool) for i := 1; i <= n; i++ { unvisited[i] = true } forlen(unvisited) > 0 { current := minDistance(dist, unvisited) delete(unvisited, current) for _, e := range edges { if e.from == current && unvisited[e.to] && dist[current]+e.weight < dist[e.to] { dist[e.to] = dist[current] + e.weight } } } return dist}func minDistance(dist []float64, unvisited map[int]bool)int { minDist := math.Inf(1) var minIndex int for v := range unvisited { if dist[v-1] < minDist { minDist = dist[v-1] minIndex = v } } return minIndex}</code>这段代码实现了上述的Johnson算法流程，包括添加新源点、运行Bellman-Ford算法、重赋权、多次运行Dijkstra算法以及最后的结果调整。请注意，实际应用时需要根据具体问题调整输入数据格式。
智谱清言：由于我无法直接查看或访问外部图像，如“图25-2”，因此我无法直接在图上应用Johnson算法。但我可以提供一个Go语言的实现框架，用于执行Johnson算法来找到所有结点对之间的最短路径。Johnson算法是一种用于计算带权图中所有结点对之间最短路径的算法。它结合了Bellman-Ford算法和Dijkstra算法的优点。以下是Johnson算法的步骤，以及如何用Go语言实现它的大致框架：
1. 为图添加一个新的顶点，并连接这个新顶点与图中的所有其他顶点，权重设为0。2. 使用Bellman-Ford算法计算从新顶点出发到所有其他顶点的最短路径。如果图中存在负权重循环，则算法终止。3. 使用Bellman-Ford算法的结果来调整图中所有边的权重，使得所有权重都变为非负。4. 对图中的每个顶点使用Dijkstra算法来计算最短路径。5. 使用调整后的权重来恢复原始的最短路径长度。以下是Go语言实现Johnson算法的代码框架：代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">package mainimport ( "fmt" "math")type Edge struct { from int to int weight int}func bellmanFord(graph []*Edge, n, source int) ([]int, bool) { dist := make([]int, n) for i := range dist { dist[i] = math.MaxInt32 } dist[source] = 0 for i := 0; i < n-1; i++ { for _, edge := range graph { if dist[edge.from] != math.MaxInt32 && dist[edge.from]+edge.weight < dist[edge.to] { dist[edge.to] = dist[edge.from] + edge.weight } } } // Check for negative-weight cycles for _, edge := range graph { if dist[edge.from] != math.MaxInt32 && dist[edge.from]+edge.weight < dist[edge.to] { returnnil, false// Negative-weight cycle detected } } return dist, true}func dijkstra(graph []*Edge, n, source int) []int { dist := make([]int, n) for i := range dist { dist[i] = math.MaxInt32 } dist[source] = 0 pq := make(PriorityQueue, 1) pq[0] = &Item{vertex: source, priority: 0} heap.Init(&pq) for pq.Len() > 0 { item := heap.Pop(&pq).(*Item) u := item.vertex for _, edge := range graph { if edge.from == u && dist[u]+edge.weight < dist[edge.to] { dist[edge.to] = dist[u] + edge.weight heap.Push(&pq, &Item{vertex: edge.to, priority: dist[edge.to]}) } } } return dist}// Implement the rest of the Johnson algorithm using the bellmanFord and dijkstra functions// ...func main() { // Initialize your graph and call the johnson function // ...}</code>在上面的代码中，Edge 结构体代表图中的边，bellmanFord 函数实现了Bellman-Ford算法，dijkstra 函数实现了Dijkstra算法。你需要实现一个优先队列（通常使用最小堆）来支持Dijkstra算法，并且需要完成Johnson算法的剩余部分，包括调整权重和恢复最短路径长度。请注意，这个代码框架不完整，你需要根据你的具体图结构和Johnson算法的详细步骤来完成它。由于Go语言标准库中没有直接支持优先队列的数据结构，你可能需要自己实现一个或者使用第三方库。
嗯，我现在需要解决的是在图25-2上应用Johnson算法找到所有节点对之间的最短路径，并且计算出h和ŵ值。首先，我得回忆一下Johnson算法的步骤，确保自己没有记错。
首先，Johnson算法主要用于处理带有负权重边的图中的所有节点对最短路径问题。它的核心思想是通过重新赋予权重来消除负权边，然后使用Dijkstra算法，这样比多次使用Bellman-Ford更高效。那具体步骤是什么呢？应该分为三个主要部分吧：添加新节点、用Bellman-Ford计算h值、调整权重，最后用Dijkstra计算所有节点对。
首先，我需要确定原图的结构。题目提到的是图25-2，但这里没有图，所以我得假设一个可能的图结构，或者可能这是一个常见的例子？比如，可能是一个包含负权边但不含负权环的有向图。或者可能用户之前提到的某个图的结构。不过因为没有图的具体信息，可能需要假设或者询问用户。但用户可能希望我以假设的图为例来演示过程，或者可能我之前提到的某个图？比如，可能之前的问题中的图？
假设原图可能存在负权边，所以Johnson算法适用。比如，假设有一个图包含节点1、2、3，或者其他节点。例如，可能的边包括（假设的）：
比如，假设图中有三个节点：A、B、C。边的情况可能有：A→B权值2，B→C权值-1，A→C权值3。或者可能有其他结构。不过为了具体说明，我需要构造一个例子，或者用户可能给出过图的结构？
或者，可能图的结构如：节点为1、2、3、4，边的情况比如，1→2（3），1→3（-2），2→4（-1），3→2（4），等等。但因为没有具体信息，可能需要假设。
或者，或许用户希望我给出Johnson算法的通用步骤，然后针对一个示例图进行计算？比如，假设一个具体的图，然后应用算法步骤，给出h和ŵ值，并说明如何计算？
比如，假设原图如下：
节点集合为V={1,2,3}，边的集合为：
1→2，权值3；
2→3，权值-4；
3→1，权值2；
1→3，权值7。
那么，按照Johnson算法的步骤：
1. 添加一个新节点s，该节点到所有原节点的边权为0。此时，s到1、s到2、s到3的边权都是0。2. 使用Bellman-Ford算法计算从s出发到各原节点的最短路径距离，这些距离即为h(v)。这一步需要确保图中没有负权环，否则无法应用。假设运行Bellman-Ford后得到h(1)=0，h(2)=3，h(3)=-1。可能吗？比如，假设s到1的最短路径是0（直接边），s到2的最短路径是s→1→2，权0+3=3。s到3的最短路径可以是s→1→2→3，总权0+3+(-4)= -1？或者可能其他路径？
3. 调整各边的权值，新的权值ŵ(u→v)=w(u→v)+h(u)-h(v)。这样确保所有边的权非负，从而可以使用Dijkstra算法。例如，原边1→2的权是3，调整后是3 + h(1)-h(2) = 3 +0-3=0。原边2→3的权是-4，调整后是-4 +3 - (-1) =-4+4=0。原边3→1的权是2，调整后是2 + (-1) -0=1。原边1→3的权7，调整后是7+0-(-1)=8。
然后，对于调整后的图，每个边的ŵ都是非负的，这样对每个节点运行Dijkstra算法，得到最短路径，之后再调整回原权值。
但这个过程是否正确？例如，原来的边权可能存在负值，调整后应该非负。例如，原边2→3的权-4，调整后的ŵ是-4 +3（h(2)） - (-1)（h(3)）= -4+3+1=0。是的，非负。这样所有边都非负，所以可以运行Dijkstra。
那么h的值为每个原节点的h(v)，即由Bellman-Ford计算得到的从s出发的最短路径。
现在问题是我需要具体应用到一个假设的图，或者可能用户提供的图的结构没有给出？这里可能存在问题，因为用户的问题中提到的是图25-2，可能是在某个教材或资料中的图，但在这里没有给出具体结构。所以，如果没有具体的图，我的回答可能不正确。或者可能用户希望我给出算法的步骤，然后给出如何计算h和ŵ的示例？
比如，可能用户希望我写出Johnson算法的步骤，并说明h的计算方式，以及如何调整权重得到ŵ，并给出一个例子。同时，可能还需要用Go语言编写代码实现这一过程？
如果是这样的话，我需要先描述Johnson算法的步骤，然后假设一个具体的图结构，并展示计算过程。然后给出对应的Go代码。
例如，假设图的结构如下（假设的）：
节点：0, 1, 2
边：
0→1，权-5
0→2，权2
1→2，权3
2→1，权1
那么Johnson算法的步骤：
1. 添加新节点s（比如节点3），并添加s到0、1、2的边，权0。2. 运行Bellman-Ford从s出发，得到h值。假设Bellman-Ford处理后得到的h值为：
h = 0（因为s→0的边权0）
h：可能通过s→0→1，权0+(-5)= -5；或者s→0→2→1，权0+2+1=3。但取最小的，所以h =-5？
但Bellman-Ford处理是否存在问题？例如，如果存在负权环的话，但这里这个图中是否有负权环？要看结构。比如，0→1的权是-5，1→2的权3，2→1的权1。那么是否存在环？
比如，路径1→2→1的权是3+1=4，不是负的。环0→1→2→0？可能没有这样的边。所以没有负权环。所以Bellman-Ford可以处理。
运行Bellman-Ford：
初始化h[s]=0，其他h[v]=无穷大。但此时s是新节点，原节点是0、1、2。所以s到各节点的距离：
初始化h[s]=0，h=h=h=INF.
然后，松弛边s→0（权0），所以h=0.
同样，松弛s→1，h=0；s→2，h=0？或者原图中的新节点s到原节点0、1、2的边权是0？
是的，按照Johnson算法的步骤，添加新节点s，并且s到每个原节点v的边权为0。所以，对于每个原节点v，存在边s→v，权0.
运行Bellman-Ford算法，计算从s到每个原节点的最短路径。
那么，第一次对所有边进行松弛：
原图的边包括原图中的所有边和新添加的边。
现在，这里的原边是原图的边，加上新添加的s到各原节点的边。例如，边列表包括：
s→0 (0), s→1 (0), s→2 (0), 0→1 (-5), 0→2 (2), 1→2 (3), 2→1 (1).
运行Bellman-Ford算法，起始点是s。节点数为4个（s,0,1,2），所以需要运行V-1=3次松弛。
初始化：
distance[s] =0，其他节点为INF.
第一轮松弛所有边：
处理s→0，distance = min(INF, 0+0)=0.
处理s→1，distance =0.
处理s→2，distance=0.
处理其他边：
0→1：distance = min(0, 0 + (-5)) →-5.
0→2：distance = min(0, 0+2)=0.
1→2：distance = min(0, -5+3)= -2.
2→1：distance = min(-5, 0+1)= -5.
所以，在第一轮之后，distance=0，distance=-5，distance=-2.
第二轮松弛：
处理所有边：
s→0：distance 已经是0，没变化。
s→1：distance 是-5，比当前的s到1的0边权更小吗？不，因为s到1的边权是0，当前distance[s]是0，所以0+0=0，比现有的-5大，所以不更新。
同理，其他边：
比如，处理0→1：当前distance是0，所以0+(-5)= -5，而distance已经是-5，不更新。
0→2：0+2=2，distance是-2，更小，不更新.
处理1→2：distance是-5，-5+3= -2，distance当前是-2，不更新.
处理2→1：distance是-2，-2+1=-1，比当前distance的-5大，所以不更新.
其他边可能不会有变化。所以第二轮之后，没有变化。
第三轮松弛：
同样，处理所有边，但不会有任何更新。所以Bellman-Ford结束。此时，h值就是：
h=0，h=-5，h=-2.
接下来调整各边的权值：
对于原图中的每一条边u→v，权值为w(u→v)，新的权值ŵ(u→v) = w(u→v) + h[u] - h[v].
例如：
边0→1，原权-5：ŵ = -5 + h - h = -5 +0 - (-5) =0.
边0→2，原权2：ŵ=2+0 - (-2)=4.
边1→2，原权3：ŵ=3 + (-5) - (-2) =3-5+2=0.
边2→1，原权1：ŵ=1 + (-2) - (-5)=1-2+5=4.
这样所有新权值都是非负的。比如，0→1的ŵ是0，0→2的ŵ4，1→2的0，2→1的4。
然后，对于每个原节点u，运行Dijkstra算法计算到其他节点的最短路径，使用新权值。然后将这些距离转换回原来的权值：d(u,v) = d'(u,v) - h[u] + h[v].
比如，假设运行Dijkstra从0出发，得到到各节点的距离在ŵ下的值，比如到1的最短路径是0→1，ŵ0，距离0。到2可以是0→1→2，总ŵ0+0=0。所以d'(0,1)=0，d'(0,2)=0。那么原距离是0 - h+h =0 -0 + (-5) =-5？或者可能我弄反了？
Johnson算法中的调整是ŵ(u→v) = w(u→v) + h[u] - h[v]。而路径p的权值总和在调整后的图中为sum(ŵ) = sum(w + h[u]-h[v]) = sum(w) + h(p的起点) - h(p的终点)。所以，原路径的总权值sum(w) = sum(ŵ) - h(u) + h(v)。因此，在调整后的图中，从u到v的最短路径d'(u,v)等于原图中的d(u,v) + h(u) - h(v)。或者说，原图中的最短路径d(u,v) = d'(u,v) - h(u) + h(v)。这可能需要再仔细推导。
假设在调整后的图中，边权为w + h[u] - h[v]。那么，对于路径u→a→b→v，总权值为：
(w(u,a)+h(u)-h(a)) + (w(a,b)+h(a)-h(b)) ) + (w(b,v)+h(b)-h(v)) )
= w(u,a)+w(a,b)+w(b,v) + h(u) -h(v)
所以，总权值等于原路径权值总和 + h(u) - h(v). 因此，原路径权值为总权值 - h(u) + h(v).
所以，在调整后的图中，d'(u,v) = d(u,v) + h(u) - h(v). 因此，原d(u,v) = d'(u,v) - h(u) + h(v).
所以在得到d'(u,v)后，需要减去h(u)加上h(v)得到原权值。
现在，假设在调整后的图中，各边的权值都是非负的，所以可以运行Dijkstra算法。
现在回到原问题，用户要求给出计算出的h和ŵ值。所以对于假设的图，h的值是h=0，h=-5，h=-2，然后各边的ŵ值如上述例子。
那现在需要将这些步骤用Go语言实现，并且输出h和ŵ的值。代码的结构可能包括：
1. 定义图的边结构。2. 添加新节点，运行Bellman-Ford计算h。3. 调整边的权值得到ŵ。4. 输出h和ŵ。但具体实现可能比较复杂，因为需要处理图的表示，Bellman-Ford的实现，以及Dijkstra的部分。但用户的问题可能只要求计算h和ŵ，而不需要实际计算所有节点对的最短路径，所以可能代码只需要实现Bellman-Ford部分和调整权值部分。
现在，我需要将这些步骤转化为Go代码。例如：
首先，定义图的边：
type Edge struct {from intto intweight int}
然后，添加新节点（假设原节点是0,1,2，新节点s是3）。
然后运行Bellman-Ford：
初始化距离数组dist，其中dist[s] =0，其他为无穷大。
然后进行V-1次松弛，每次遍历所有边。
之后检查是否存在负权环。如果存在，则无法应用Johnson算法。
如果没有，则h数组即为dist中的值。
接着，调整各边的权值为原权值 + h[from] - h[to]。
需要注意的是，原图的边不包括新添加的s到原节点的边，所以在调整权值时只需要处理原图的边。
在代码中，需要将原图的边和新添加的边分开处理。Bellman-Ford时需要包含新添加的边，而调整权值时只需要处理原图的边。
所以，可能的步骤：
• 输入原图的边列表。• 添加新节点s，并添加s到每个原节点的边，权为0。• 运行Bellman-Ford从s出发，得到每个原节点的h值。• 遍历原图的每条边，计算ŵ = weight + h[from] - h[to].然后输出h和ŵ的值。
现在，我需要编写Go代码来实现这个过程。假设原图的节点为0,1,2，边如前面假设的：
edges := []Edge{{from: 0, to: 1, weight: -5},{from: 0, to: 2, weight: 2},{from: 1, to: 2, weight: 3},{from: 2, to: 1, weight: 1},}
然后，添加新节点s=3，添加边：
for i := 0; i
然后运行Bellman-Ford：
nNodes := 4 // s is 3，原节点0、1、2
dist := make([]int, nNodes)for i := range dist {dist[i] = math.MaxInt32}dist = 0
// 松弛nNodes-1次，即4-1=3次for i :=0; i
// 检查负环hasNegativeCycle := falsefor _, e := range edges {if dist[e.from] != math.MaxInt32 && dist[e.to] > dist[e.from] + e.weight {hasNegativeCycle = truebreak}}
if hasNegativeCycle {fmt.Println("存在负权环，无法应用Johnson算法")} else {// h是原节点的dist值h := dist[:3] // 原节点是0、1、2，对应索引0、1、2，而s是3// 处理原图的边，计算ŵoriginalEdges := edges[:4] // 假设前四个是原图的边for _, e := range originalEdges {newW := e.weight + h[e.from] - h[e.to]fmt.Printf("边 %d->%d 的ŵ值为 %d\n", e.from, e.to, newW)}}
这样代码是否正确？假设原边是前四个，之后添加的是s的边。在Bellman-Ford处理后，h的值是原节点的距离。
根据前面的例子，h=0，h=-5，h=-2。那么对于边0→1，原权-5，计算ŵ为-5 +0 - (-5)=0。其他边类似。
这样代码应该输出h的值和各个原边的ŵ值。
综上，用户的提问需要给出Johnson算法中的h和ŵ的计算，并且用Go语言编写代码。因此，我需要将这些步骤整合成一个回答，先描述算法步骤，然后给出示例计算，最后提供对应的Go代码。
Johnson算法通过重新赋予权重来消除负权边，从而允许使用Dijkstra算法高效计算所有节点对的最短路径。以下是算法的关键步骤和示例计算：
算法步骤：
1. 添加虚拟节点：引入新节点s，并添加s到所有原节点的边（权重为0）。2. 计算h值：用Bellman-Ford算法计算s到各节点的最短路径距离，这些距离即为h值。3. 调整边权：对原图中的每条边(u→v)，计算新权重ŵ(u→v) = w(u→v) + h[u] - h[v]（确保非负）。4. 计算最短路径：对每个节点使用Dijkstra算法计算调整后的最短路径，最终结果需还原为原权重。示例计算（假设原图）：
• 节点：0, 1, 2• 原边：• 0→1 (-5)• 0→2 (2)• 1→2 (3)• 2→1 (1)步骤解析：
1. Bellman-Ford计算h值：• h = 0, h = -5, h = -22. 调整边权ŵ：• 0→1: -5 + 0 - (-5) = 0• 0→2: 2 + 0 - (-2) = 4• 1→2: 3 + (-5) - (-2) = 0• 2→1: 1 + (-2) - (-5) = 4Go代码实现：
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<code class="javascript">package mainimport ( "fmt" "math")type Edge struct { from int to int weight int}func main() { // 原图边 originalEdges := []Edge{ {0, 1, -5}, {0, 2, 2}, {1, 2, 3}, {2, 1, 1}, } // 添加虚拟节点s（编号为3）到原图的边 edges := make([]Edge, len(originalEdges)) copy(edges, originalEdges) for i := 0; i < 3; i++ { // 原节点0,1,2 edges = append(edges, Edge{3, i, 0}) } // Bellman-Ford计算h n := 4// 节点总数（原3个 + 虚拟节点） dist := make([]int, n) for i := range dist { dist[i] = math.MaxInt32 } dist[3] = 0// 虚拟节点s为起点 // 松弛操作 for i := 0; i < n-1; i++ { updated := false for _, e := range edges { if dist[e.from] != math.MaxInt32 && dist[e.to] > dist[e.from]+e.weight { dist[e.to] = dist[e.from] + e.weight updated = true } } if !updated { break } } // 检查负环 hasNegativeCycle := false for _, e := range edges { if dist[e.from] != math.MaxInt32 && dist[e.to] > dist[e.from]+e.weight { hasNegativeCycle = true break } } if hasNegativeCycle { fmt.Println("存在负权环，无法应用Johnson算法") return } // 输出h值（原节点的h） h := dist[:3] fmt.Println("h值：") for i, v := range h { fmt.Printf("h[%d] = %d\n", i, v) } // 计算并输出调整后的ŵ fmt.Println("\n调整后的边权ŵ：") for _, e := range originalEdges { newW := e.weight + h[e.from] - h[e.to] fmt.Printf("边 %d→%d: ŵ = %d\n", e.from, e.to, newW) }}</code>输出示例：
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">h值：h[0] = 0h[1] = -5h[2] = -2调整后的边权ŵ：边 0→1: ŵ = 0边 0→2: ŵ = 4边 1→2: ŵ = 0边 2→1: ŵ = 4</code>
代码说明：
1. 数据结构：使用Edge结构体表示图的边。2. Bellman-Ford实现：计算虚拟节点到所有原节点的最短路径得到h值。3. 权重调整：遍历原图边，根据h值计算新权重ŵ，确保非负。4. 输出结果：展示h值和调整后的各边权重ŵ。kimi：为了使用Johnson算法找到所有结点对之间的最短路径，我们需要按照以下步骤进行：添加一个新结点：在原图中添加一个新结点，该结点与所有其他结点相连，边的权重为0。运行Bellman-Ford算法：从新添加的结点出发，运行Bellman-Ford算法，计算从该结点到所有其他结点的最短路径。如果存在负权重环，则算法失败。计算h值：Bellman-Ford算法计算出的从新结点到每个结点的最短路径长度即为h值。计算w值：对于原图中的每条边(u,v)，计算w(u,v)=w(u,v)+h(u)−h(v)，其中w(u,v)是原图中边(u,v)的权重。运行Dijkstra算法：对于每个结点，使用w值作为边的权重，运行Dijkstra算法，计算从该结点到所有其他结点的最短路径。恢复最短路径：使用h值恢复原图中的最短路径长度。由于题目中没有给出具体的图25-2，我将使用一个示例图来说明Johnson算法的步骤。假设我们有以下图：复制A --1-- B --2-- C\ | /\ | /\ | /\ | /\ | /\ | /D边的权重如下：w(A,B)=1w(B,C)=2w(C,D)=−1w(D,A)=4w(D,B)=1w(D,C)=2步骤1：添加新结点添加新结点S，并连接到所有其他结点，权重为0。步骤2：运行Bellman-Ford算法从S出发，运行Bellman-Ford算法：h(S)=0h(A)=0h(B)=0h(C)=0h(D)=0步骤3：计算h值h值即为Bellman-Ford算法计算出的最短路径长度：h(A)=0h(B)=0h(C)=0h(D)=0步骤4：计算w值计算w(u,v)=w(u,v)+h(u)−h(v)：w(A,B)=1+0−0=1w(B,C)=2+0−0=2w(C,D)=−1+0−0=−1w(D,A)=4+0−0=4w(D,B)=1+0−0=1w(D,C)=2+0−0=2步骤5：运行Dijkstra算法对于每个结点，使用w值作为边的权重，运行Dijkstra算法：从A出发：d(A,A)=0d(A,B)=1d(A,C)=3d(A,D)=2从B出发：d(B,A)=4d(B,B)=0d(B,C)=2d(B,D)=1从C出发：d(C,A)=5d(C,B)=3d(C,C)=0d(C,D)=−1从D出发：d(D,A)=4d(D,B)=1d(D,C)=2d(D,D)=0步骤6：恢复最短路径使用h值恢复原图中的最短路径长度：d(A,B)=1d(A,C)=3d(A,D)=2d(B,A)=4d(B,C)=2d(B,D)=1d(C,A)=5d(C,B)=3d(C,D)=−1d(D,A)=4d(D,B)=1d(D,C)=2最终答案h值和w值如下：h(A)=0h(B)=0h(C)=0h(D)=0w(A,B)=1w(B,C)=2w(C,D)=−1w(D,A)=4w(D,B)=1w(D,C)=2所有结点对之间的最短路径长度如下：d(A,B)=1d(A,C)=3d(A,D)=2d(B,A)=4d(B,C)=2d(B,D)=1d(C,A)=5d(C,B)=3d(C,D)=−1d(D,A)=4d(D,B)=1d(D,C)=2\boxed{h(A) = 0, h(B) = 0, h(C) = 0, h(D) = 0, \widehat{w}(A, B) = 1, \widehat{w}(B, C) = 2, \widehat{w}(C, D) = -1, \widehat{w}(D, A) = 4, \widehat{w}(D, B) = 1, \widehat{w}(D, C) = 2}
腾讯元宝：由于我无法直接查看图25-2，我将提供一个通用的Johnson算法实现，并解释如何计算和值
Johnson算法是一种求解所有结点对之间最短路径的方法，它结合了Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。以下是Johnson算法的Go语言实现：
代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制<code class="javascript">package mainimport ( "container/heap" "fmt" "math")type Edge struct { from, to, weight int}type Graph struct { nodes [][]Edge}func NewGraph(n int) *Graph { graph := make([][]Edge, n) return &Graph{nodes: graph}}func (g *Graph) AddEdge(from, to, weight int) { g.nodes[from] = append(g.nodes[from], Edge{from, to, weight})}func bellmanFord(g *Graph, source int) ([]int, []int) { dist := make([]int, len(g.nodes)) pred := make([]int, len(g.nodes)) for i := range dist { dist[i] = math.MaxInt32 pred[i] = -1 } dist[source] = 0 for i := 0; i < len(g.nodes)-1; i++ { for _, edge := range g.nodes[source] { if dist[edge.from]+edge.weight < dist[edge.to] { dist[edge.to] = dist[edge.from] + edge.weight pred[edge.to] = edge.from } } source++ } return dist, pred}func dijkstra(g *Graph, source int) ([]int, []int) { dist := make([]int, len(g.nodes)) pred := make([]int, len(g.nodes)) visited := make([]bool, len(g.nodes)) for i := range dist { dist[i] = math.MaxInt32 pred[i] = -1 } dist[source] = 0 pq := &PriorityQueue{} heap.Init(pq) heap.Push(pq, &Item{node: source, priority: 0}) for pq.Len() > 0 { u := heap.Pop(pq).(*Item).node if visited[u] { continue } visited[u] = true for _, edge := range g.nodes[u] { v := edge.to alt := dist[u] + edge.weight if alt < dist[v] { dist[v] = alt pred[v] = u heap.Push(pq, &Item{node: v, priority: alt}) } } } return dist, pred}func johnson(g *Graph) ([][]int, []int) { // Add a new vertex with zero-weight edges to all other vertices newNode := len(g.nodes) g.nodes = append(g.nodes, make([]Edge, len(g.nodes))) for i := range g.nodes[:newNode] { g.nodes[newNode] = append(g.nodes[newNode], Edge{newNode, i, 0}) } // Run Bellman-Ford algorithm from the new vertex h, _ := bellmanFord(g, newNode) // Reweight the edges for u := range g.nodes { for _, edge := range g.nodes[u] { edge.weight = edge.weight + h[u] - h[edge.to] } } // Remove the added vertex and run Dijkstra's algorithm for each vertex g.nodes = g.nodes[:newNode] allPairsShortestPaths := make([][]int, len(g.nodes)) for i := range allPairsShortestPaths { dist, _ := dijkstra(g, i) for j := range dist { dist[j] = dist[j] - h[i] + h[j] } allPairsShortestPaths[i] = dist } return allPairsShortestPaths, h}func main() { g := NewGraph(3) g.AddEdge(0, 1, -1) g.AddEdge(0, 2, 4) g.AddEdge(1, 2, 3) g.AddEdge(1, 0, 2) g.AddEdge(2, 1, -2) allPairsShortestPaths, h := johnson(g) fmt.Println("h values:", h) fmt.Println("All pairs shortest paths:", allPairsShortestPaths)}</code>在这个实现中，bellmanFord函数计算了从新添加的顶点到所有其他顶点的最短路径，这些路径值存储在h数组中。然后，我们重新加权图中所有边的权重，使用公式。最后，我们移除新添加的顶点，并对每个顶点运行Dijkstra算法来找到所有结点对之间的最短路径。这些路径在allPairsShortestPaths数组中返回，而值在h数组中返回。
请注意，这个实现假设图中没有负权重环。如果在运行Bellman-Ford算法后检测到负权重环，算法将无法正确工作。
以上就是deepseek VS chatgpt （401）-- 算法导论25.3 1题的详细内容，更多请关注php中文网其它相关文章！
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