优化Python嵌套循环解决双数组比较问题

本文针对一个评估问题，即统计两个大小为N的团队中，团队一获胜的回合数。通过将问题转化为寻找差值数组中和大于0的数对数量，并利用二分查找优化算法，将原始O(n^2)的时间复杂度降低到O(n log n)，提供了一个更高效的解决方案。

问题分析与转化

原始问题要求比较两个团队的队员技能值，统计团队一获胜的回合数。获胜条件是 group1[i] + group1[j] > group2[i] + group2[j]，其中 0 <= i < j < n。直接使用嵌套循环实现，时间复杂度为 O(n^2)。

为了优化算法，可以将比较条件进行转换：

group1[i] + group1[j] > group2[i] + group2[j] 等价于 (group1[i] - group2[i]) + (group1[j] - group2[j]) > 0

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定义一个新的数组 differences，其中 differences[i] = group1[i] - group2[i]。那么问题就转化为：在 differences 数组中，寻找有多少对 (differences[i], differences[j]) 的和大于 0。

优化算法：二分查找

转化后的问题可以使用排序和二分查找来解决，从而降低时间复杂度。

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1. 计算差值数组： 首先，计算 group1 和 group2 的差值数组 differences。
2. 排序差值数组： 对 differences 数组进行排序。排序的时间复杂度为 O(n log n)。
3. 统计数对： 遍历排序后的 differences 数组。对于每个元素 differences[i]，在数组中查找有多少个元素 differences[j] 满足 differences[i] + differences[j] > 0，即 differences[j] > -differences[i]。可以使用二分查找来快速找到满足条件的元素个数。

以下是 Python 代码实现：

import bisect

def countWins(group1, group2):
    """
    统计 team1 获胜的回合数，优化版本。

    Args:
        group1: team1 的技能值数组。
        group2: team2 的技能值数组。

    Returns:
        team1 获胜的回合数。
    """
    wins = 0
    differences = [x - y for x, y in zip(group1, group2)]
    differences.sort()
    a = differences
    n = len(differences)

    for i in range(n):
        if a[i] <= 0:
            continue

        j = bisect.bisect_left(a, -a[i] + 1)
        wins += i - j

    return wins


def main():
    arr1 = [1, 3, 4, 6]
    arr2 = [0, 1, 4, 7]
    print(countWins(arr1, arr2))


if __name__ == "__main__":
    main()

代码解释：

• countWins(group1, group2) 函数实现了优化的算法。
• differences = [x - y for x, y in zip(group1, group2)] 计算了差值数组。
• differences.sort() 对差值数组进行排序。
• bisect.bisect_left(a, -a[i] + 1) 使用二分查找找到第一个大于 -a[i] 的元素的索引。
• wins += i - j 计算满足条件的数对数量。

示例：

对于输入 group1 = [1, 3, 4, 6] 和 group2 = [0, 1, 4, 7]，程序的输出为 4。

时间复杂度分析

• 计算差值数组：O(n)
• 排序差值数组：O(n log n)
• 遍历数组并进行二分查找：O(n log n)

因此，总的时间复杂度为 O(n log n)，相比于原始的 O(n^2) 算法，效率更高。

注意事项与总结

• 本算法的关键在于将原始问题转化为寻找差值数组中和大于 0 的数对数量。
• 利用排序和二分查找可以有效地降低时间复杂度。
• bisect 模块提供了高效的二分查找功能。
• 虽然寻找数对的算法可以进一步优化，但时间复杂度仍然是 O(n log n)，优化效果有限。

通过以上优化，可以更高效地解决双数组比较问题，尤其是在数据量较大时，性能提升更加明显。

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