使用泊松分布解决扩展生日问题：计算多人群体同生日概率

1. 经典生日问题回顾与扩展挑战

经典的生日问题（Birthday Problem）旨在计算在一个房间内需要多少人，才能使至少有两个人拥有相同生日的概率超过50%。通常，这个问题通过计算所有人生日都不同的概率，然后用1减去该概率来解决。其核心思想是基于组合学和互补事件的原理。

然而，当问题升级为计算“3人或更多”、“4人或更多”甚至“k人或更多”拥有相同生日的概率时，传统的组合方法变得异常复杂且难以直接扩展。简单地修改计算“对”的常数（例如将c=2改为c=3）并不能正确解决问题，因为这涉及到更复杂的同生日群体组合情况，而非简单的两两配对。这种情况下，我们需要一种更强大的数学工具来近似计算这些复杂的概率。

2. 泊松分布在生日问题中的应用

泊松分布（Poisson Distribution）是一种离散概率分布，常用于描述在固定时间或空间间隔内，事件发生次数的概率。它特别适用于描述稀有事件的发生次数，当事件的平均发生率已知，且各事件独立发生时。在扩展的生日问题中，我们可以将每天视为一个“区间”，而人们的生日则随机地“落入”这些区间。

使用泊松分布来近似解决扩展生日问题的核心思想是：

• 将一年中的每一天视为一个独立的“箱子”（bin）。
• 将每个人视为一个独立的“球”，随机地放入这些箱子中。
• 我们感兴趣的是至少有一个箱子包含k个或更多“球”的概率。

这种近似方法在人数相对较少（相对于365天）时表现良好，因为此时每个人拥有特定生日的概率是相对较小的独立事件。

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3. Python实现：使用Scipy的泊松分布

Python的scipy.stats库提供了丰富的统计分布函数，包括泊松分布。下面我们将展示如何利用poisson.cdf（累积分布函数）来计算扩展生日问题的概率。

from scipy.stats import poisson

def calculate_birthday_probability(num_people, target_same_birthday):
    """
    计算在给定人数的房间内，有k人或更多人拥有相同生日的概率。

    参数:
    num_people (int): 房间内的人数 (n)。
    target_same_birthday (int): 目标同生日人数 (k)。

    返回:
    float: 至少有k人拥有相同生日的概率。
    """

    # 输入参数
    n = num_people      # 房间内的人数
    k = target_same_birthday # 目标同生日人数

    # 计算
    # k_ 是 (k-1)，因为泊松CDF计算的是小于等于k_的概率，
    # 而我们关注的是至少k人，即不出现0, 1, ..., k-1人的情况。
    k_ = k - 1
    b = 365             # 一年中的天数 (忽略闰年)

    # n_b (mu) 是泊松分布的平均参数 (lambda)。
    # 它表示平均每“天”有多少人。
    # 理论上，这是每个特定生日槽位上可能出现的人数期望值。
    n_b = n / b

    # F_k_day = poisson.cdf(k_, n_b, loc=0)
    # 计算在“某一天”有少于k人（即0到k-1人）的概率。
    # loc=0表示分布从0开始。
    F_k_day = poisson.cdf(k_, n_b, loc=0)

    # F_k = F_k_day**b
    # 假设每天的事件是独立的，那么所有b天都少于k人的概率
    # 就是每天少于k人的概率的b次方。
    F_k_all_days = F_k_day ** b

    # P_k = 1 - F_k
    # 至少有一天有k人或更多人的概率
    # (即1减去所有天都少于k人的概率)
    P_k = 1 - F_k_all_days

    print(f"房间人数 (n): {n}")
    print(f"目标同生日人数 (k): {k}")
    print(f"泊松分布的平均参数 (mu): {n_b:,.4f}")
    print(f"单日少于 {k} 人的泊松概率: {F_k_day:,.4f}")
    print(f"所有 {b} 天都少于 {k} 人的泊松概率: {F_k_all_days:,.4f}")
    print(f"至少有 {k} 人拥有相同生日的概率: {P_k:,.4f}")
    print("-" * 40)

# 示例用法：
# 经典生日问题 (n=23, k=2)
print("--- 经典生日问题 (23人，至少2人同生日) ---")
calculate_birthday_probability(23, 2)

# 扩展生日问题 (30人，至少3人同生日)
print("--- 扩展生日问题 (30人，至少3人同生日) ---")
calculate_birthday_probability(30, 3)

# 扩展生日问题 (50人，至少4人同生日)
print("--- 扩展生日问题 (50人，至少4人同生日) ---")
calculate_birthday_probability(50, 4)

4. 代码解析与注意事项

• n (num_people): 房间内的人数。
• k (target_same_birthday): 我们想要计算的至少有k人拥有相同生日的k值。
• b: 一年中的天数，通常取365。为简化模型，我们通常忽略闰年。
• k_ = k - 1: 这是泊松分布累积分布函数（CDF）的关键调整。poisson.cdf(x, mu)计算的是事件发生次数小于或等于x的概率。为了计算“至少有k人”，我们首先计算“少于k人”（即0, 1, ..., k-1人）的概率，所以x取k-1。
• n_b = n / b: 这是泊松分布的平均参数mu（有时也表示为lambda）。它代表了在一天中，平均有多少人被分配到这个特定的生日。例如，23个人在365天中，平均每天有 23/365 ≈ 0.063 人。
• F_k_day = poisson.cdf(k_, n_b, loc=0): 计算的是在某一天（即某个特定的生日）有少于k人（即0到k-1人）的概率。loc=0表示泊松分布的起点是0。
• `F_k_all_days = F_k_day b:** 假设一年中的每一天都是独立的，那么**所有b天**都没有达到k人或更多人的概率，就是单日少于k人的概率的b`次方。
• P_k = 1 - F_k_all_days: 这就是我们最终想要的结果。它表示至少有一天有k人或更多人拥有相同生日的概率。这是通过互补事件计算得出的：1减去所有天都少于k人的概率。

注意事项：

• 近似性： 泊松分布在这里提供的是一个近似解。当人数n相对于天数b很小时，近似效果较好。随着n的增加，这种近似可能不如精确的组合学方法（如果能计算的话）准确，但对于复杂情况，它是一个非常实用的替代方案。
• 闰年： 上述计算未考虑闰年（2月29日）。在大多数情况下，这影响不大，但如果需要极高的精度，则需要进一步调整b的值或采用更复杂的模型。
• 生日分布均匀性： 模型假设生日在一年中是均匀分布的。实际上可能存在轻微的季节性偏差，但这通常在生日问题中被忽略。

5. 总结

通过引入泊松分布，我们成功地将经典的生日问题推广到了计算“k人或更多”拥有相同生日的复杂场景。这种方法提供了一种相对简单且高效的数值近似方案，避免了直接组合计算的巨大复杂性。理解泊松分布的原理及其在稀有事件建模中的应用，是解决这类概率问题的关键。上述Python代码提供了一个清晰、可扩展的框架，可以轻松地调整参数n和k来探索不同情境下的同生日概率。

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