主席树通过共享节点实现可持久化，支持查询历史版本，空间复杂度O(N log N)，常用于静态区间第K大问题，其核心是在修改时仅新建必要节点，其余指向旧版本，从而高效保存多版本线段树。
主席树，又称可持久化线段树，本质上是一种可以查询历史版本线段树的数据结构。它通过共享线段树的节点，大幅降低了空间复杂度，从而实现了对线段树历史状态的保存和查询。其核心在于“可持久化”，即允许我们访问和修改数据结构的历史版本。
主席树的可持久化
主席树的可持久化特性并非指它能“记住”所有历史操作，而是指它能高效地存储线段树的多个历史版本，并在需要时快速访问这些版本。 实现的关键在于，每次修改线段树时，只新建被修改路径上的节点，而其余节点则直接指向上一版本的对应节点。 这样，不同的版本之间共享了大量节点，极大地节省了空间。
主席树的应用场景
主席树最经典的应用就是解决静态区间第K大问题。 但它的应用远不止于此。 任何可以用线段树解决，并且需要查询历史版本的问题，都可以考虑使用主席树。 比如，查询历史版本的区间和，或者解决一些与树上路径相关的问题。
如何理解主席树的空间复杂度？
主席树的空间复杂度是 O(N log N)。 这个结论可能让人困惑，毕竟每次修改都要新建 log N 个节点。 关键在于，主席树共享了大量节点。 对于静态区间第K大问题，我们只需要对原始数组建立一颗初始线段树，然后对于每个前缀，建立一颗线段树。 后面的线段树，只修改前一个线段树中log N个节点。 因此，总的空间复杂度是 O(N log N)。 需要注意的是，如果修改操作非常频繁，导致每次修改都涉及到大量的节点新建，那么主席树的空间复杂度可能会退化。
主席树与普通线段树的区别是什么？
最大的区别在于可持久化。 普通线段树的修改是覆盖式的，会直接修改原有的节点。 而主席树的修改是新建式的，会新建被修改路径上的节点，并保留原有的节点。 这使得我们可以访问线段树的任意历史版本。 此外，主席树在实现上通常使用函数式编程的思想，尽量避免副作用，以保证数据的不可变性。
主席树的实现细节有哪些需要注意的？
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首先，要理解线段树的基本原理，包括建树、查询和修改。 其次，要掌握可持久化的核心思想，即共享节点。 在实现上，通常需要维护一个版本数组，记录每个版本的根节点。 在查询时，需要根据指定的版本号，从对应的根节点开始遍历。 另外，要注意空间复杂度，尽量避免不必要的节点新建。 在某些情况下，可以使用动态开点的方式，进一步降低空间复杂度。
主席树代码示例 (C++)
#include#include #include using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 5; struct Node { int left, right; int sum; }; vector tree(MAXN * 20); // 预分配空间 int root[MAXN]; int cnt = 0; int a[MAXN]; int n; int build(int l, int r) { int node_id = cnt++; tree[node_id].sum = 0; if (l == r) { return node_id; } int mid = (l + r) / 2; tree[node_id].left = build(l, mid); tree[node_id].right = build(mid + 1, r); return node_id; } int update(int prev_node, int l, int r, int pos) { int node_id = cnt++; tree[node_id] = tree[prev_node]; // 复制上一版本节点 tree[node_id].sum++; if (l == r) { return node_id; } int mid = (l + r) / 2; if (pos <= mid) { tree[node_id].left = update(tree[prev_node].left, l, mid, pos); } else { tree[node_id].right = update(tree[prev_node].right, mid + 1, r, pos); } return node_id; } int query(int u, int v, int l, int r, int k) { if (l == r) { return l; } int mid = (l + r) / 2; int left_sum = tree[tree[v].left].sum - tree[tree[u].left].sum; if (k <= left_sum) { return query(tree[u].left, tree[v].left, l, mid, k); } else { return query(tree[u].right, tree[v].right, mid + 1, r, k - left_sum); } } int main() { int m; cin >> n >> m; vector b(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> a[i]; b[i] = a[i]; } sort(b.begin(), b.end()); b.erase(unique(b.begin(), b.end()), b.end()); for (int i = 0; i < n; ++i) { a[i] = lower_bound(b.begin(), b.end(), a[i]) - b.begin(); } root[0] = build(0, b.size() - 1); for (int i = 1; i <= n; ++i) { root[i] = update(root[i - 1], 0, b.size() - 1, a[i - 1]); } for (int i = 0; i < m; ++i) { int l, r, k; cin >> l >> r >> k; int result = query(root[l - 1], root[r], 0, b.size() - 1, k); cout << b[result] << endl; } return 0; }
主席树在动态问题中的应用？
虽然主席树主要用于解决静态问题，但也可以通过一些技巧来处理动态问题。 例如，可以将修改操作离线下来，然后按照时间顺序建立主席树。 或者，可以使用树状数组套主席树，来实现动态区间第K大问题。 这些方法通常比较复杂，需要根据具体问题进行分析。
如何优化主席树的空间复杂度？
除了动态开点之外，还可以使用一些其他的技巧来优化主席树的空间复杂度。 例如，可以使用压缩存储，将相邻的相同节点合并。 或者，可以使用启发式合并，将较小的子树合并到较大的子树上。 这些方法可以有效地降低空间复杂度，但也会增加实现的复杂度。
主席树的调试技巧有哪些？
主席树的调试比较困难，因为涉及到多个版本的数据。 一个常用的技巧是，每次修改后，都打印出当前版本线段树的结构，以便观察数据的变化。 另外，可以使用一些调试工具，例如 GDB，来跟踪程序的执行过程。 最重要的是，要仔细分析代码，理解每一步操作的含义。
