解决Python中具有多个解的二元方程

将其表示为矩阵形式：

应用高斯消元法后，得到：

从简化后的矩阵中，我们可以看出Y的值是确定的（Y=1），而X和Z，V和W之间存在依赖关系。

## 寻找特解和通解

找到一个特解后，我们可以通过加上齐次方程的通解来获得所有可能的解。齐次方程是指将原方程组的等号右边都设为0的方程组。

在上述例子中，我们可以很容易找到一个特解，例如：X=0, Y=1, Z=1, V=0, W=1。

接下来，我们需要找到齐次方程的通解。从简化后的矩阵中，我们可以得出以下关系：

这意味着我们可以自由选择xh和vh的值，而zh和wh的值则由xh和vh决定。

## Python代码实现

以下是一个使用Python实现的示例代码，用于计算所有可能的解：

```python
from itertools import product

xp, yp, zp, vp, wp = (0, 1, 1, 0, 1)  # 特解

yh = 0
for xh, vh in product(range(2), repeat=2):
    zh, wh = xh, vh
    x, y, z, v, w = (xp ^ xh, yp ^ yh, zp ^ zh, vp ^ vh, wp ^ wh)

    assert x ^ z == 1
    assert x ^ y ^ z ^ v ^ w == 1
    assert v ^ w == 1
    assert y == 1
    print(x, y, z, v, w)

pip install galois numpy sympy

from galois import GF2
from numpy import hstack, dot, zeros
from numpy.linalg import solve, LinAlgError
from itertools import combinations

from sympy import Matrix, symbols
from sympy import solve_linear_system

A = GF2((
    (1, 0, 1, 0, 0,),
    (1, 1, 1, 1, 1),
    (0, 0, 0, 1, 1),
    (0, 1, 0, 0, 0),
))
b = GF2(((1, 1, 1, 1),)).T
Ab = hstack((A, b))

Ab_reduced = Ab.row_space()
A_reduced = Ab_reduced[:, :-1]
b_reduced = Ab_reduced[:, -1:]

n_eqs, n_vars = A_reduced.shape

for idx in combinations(range(n_vars), r=n_eqs):
    try:
        sol = solve(A_reduced[:,idx], b_reduced)
        break
    except LinAlgError:
        pass

particular_solution = n_vars * [0]
for j, i in enumerate(idx):
    particular_solution[i] = int(b_reduced[j])
particular_solution = GF2(particular_solution)

zero_col = GF2((zeros(n_eqs, dtype=int), )).T
x, y, z, v, w = symbols("x y z v w")
A_homogenous = hstack((A_reduced, zero_col))
solve_linear_system(Matrix(A_homogenous), x, y, z, v, w)