3D投影中的轴反转问题解析
在3d图形编程中，实现摄像机视角下的三维物体投影是核心任务之一。然而，开发者常会遇到一个棘手的问题：当摄像机旋转时，投影出的物体（例如一个立方体）可能会发生水平或垂直翻转。这种现象通常被称为“轴反转”或“z轴翻转”，其根本原因在于透视投影的基本数学公式。
透视投影通常使用 x_screen = (e.z / d.z) * d.x + e.x 和 y_screen = (e.z / d.z) * d.y + e.y 这样的形式，其中 d.z 代表物体在摄像机坐标系下的Z轴深度。这些公式的有效性建立在 d.z > 0 的前提下，即物体位于摄像机的前方。一旦物体移动到摄像机的后方，导致 d.z
解决方案：近平面裁剪与变换分离
为了解决上述轴反转问题，核心策略是引入近平面裁剪（Near-Plane Clipping），并对原始的投影函数进行结构优化，将其拆分为更清晰的视图变换和透视变换阶段。
1. 引入近平面裁剪
近平面裁剪的目的是在进行透视投影之前，剔除所有位于摄像机近裁剪平面（Near Plane）之外的几何体。近裁剪平面通常定义为一个与摄像机Z轴垂直的平面，其Z值大于0。任何Z值小于这个近平面阈值的点都将被视为在摄像机后方或过近，不应被渲染。对于跨越近平面的线段，我们需要计算其与近平面的交点，并用交点替换原先在近平面后方的端点。
以下是修改后的 draw() 函数，展示了如何实现近平面裁剪：
void draw() {
cam_angle = new PVector(0.01*(mouseY-width/2), 0.01*(mouseX-height/2), 0);
background(255);
translate(width/2, height/2);
strokeWeight(1);
fill(0);
// 存储经过视图变换后的点，而非直接投影点
PVector[] points_view = new PVector[points.length];
for (int i = 0; i < points.length; i++) {
points_view[i] = applyViewTransform(points[i]); // 将世界坐标点转换为摄像机坐标点
}
float nearPlane = 1.0F; // 定义近裁剪平面，例如 Z=1.0
for (int i = 0; i < points_view.length; i++) {
for (int a = 0; a < points_view.length; a++) {
if (i == a) continue; // 避免连接同一点
PVector p0 = points_view[i];
PVector p1 = points_view[a];
// 根据线段两端点与近平面的相对位置进行裁剪处理
switch (((p0.z >= nearPlane) ? 1 : 0) | ((p1.z >= nearPlane) ? 2 : 0)) {
case 0: // 两端点都在摄像机后方或近平面之内，整条线段被裁剪
continue;
case 3: // 两端点都在摄像机前方，线段完全可见
break;
case 1: // p0 在前方，p1 在后方，裁剪 p1
p1 = PVector.lerp(p0, p1, (p0.z - nearPlane) / (p0.z - p1.z));
break;
case 2: // p1 在前方，p0 在后方，裁剪 p0
p0 = PVector.lerp(p1, p0, (p1.z - nearPlane) / (p1.z - p0.z));
break;
}
// 对裁剪后的线段端点进行透视投影并绘制
PVector[] points_projected = {applyPerspectiveTransform(p0), applyPerspectiveTransform(p1)};
line(points_projected[0].x, points_projected[0].y, points_projected[1].x, points_projected[1].y);
}
}
}裁剪逻辑说明：
- nearPlane：定义了近裁剪平面的Z坐标。任何Z值小于此值的点都将被裁剪。
-
switch 语句：通过位运算 | 组合两个端点 p0 和 p1 与 nearPlane 的相对位置信息。
- case 0: 表示 p0.z
- case 3: 表示 p0.z >= nearPlane 且 p1.z >= nearPlane，即线段两端都在近平面之前，线段完全可见，无需裁剪。
- case 1: 表示 p0.z >= nearPlane 且 p1.z
- case 2: 表示 p1.z >= nearPlane 且 p0.z
2. 分离视图变换与透视变换
为了提高代码的模块化和可读性，我们将原始的 applyPerspective() 函数拆分为两个独立的阶段：
- applyViewTransform(PVector p): 负责将世界坐标系下的点 p 转换到摄像机坐标系下。这一步涉及到将物体点相对于摄像机位置进行平移，并根据摄像机朝向进行旋转。
- applyPerspectiveTransform(PVector d): 负责将摄像机坐标系下的点 d（其Z值必须大于近平面）投影到二维屏幕坐标系。
以下是这两个新函数的代码实现：
// 原始的 applyPerspective 函数现在作为一个包装器
PVector applyPerspective(PVector p) {
PVector d = applyViewTransform(p);
return applyPerspectiveTransform(d);
}
// 视图变换：将世界坐标点转换为摄像机坐标点
PVector applyViewTransform(PVector p) {
PVector c = cam; // 摄像机位置
PVector co = cam_angle; // 摄像机角度
// 计算从世界坐标到摄像机坐标的变换矩阵
// 这里的矩阵乘法顺序对应于先平移（p-c），再按摄像机角度旋转
float[][] dxyz = matmul(
matmul(new float[][]{
{1, 0, 0},
{0, cos(co.x), sin(co.x)},
{0, -sin(co.x), cos(co.x)}
}, new float[][]{
{cos(co.y), 0, -sin(co.y)},
{0, 1, 0},
{sin(co.y), 0, cos(co.y)}
}),
matmul(new float[][]{
{cos(co.z), sin(co.z), 0},
{-sin(co.z), cos(co.z), 0},
{0, 0, 1}
}, new float[][]{
{p.x - c.x}, // 将点平移到以摄像机为原点的坐标系
{p.y - c.y},
{p.z - c.z},
})
);
PVector d = new PVector(dxyz[0][0], dxyz[1][0], dxyz[2][0]);
return d; // 返回摄像机坐标系下的点
}
// 透视变换：将摄像机坐标点投影到2D屏幕坐标点
PVector applyPerspectiveTransform(PVector d) {
PVector e = new PVector(0, 0, 100); // 投影平面相对于摄像机针孔的位置
// 确保 d.z 始终大于 0，因为近平面裁剪已经处理了负值情况
return new PVector((e.z / d.z) * d.x + e.x, (e.z / d.z) * d.y + e.y);
}通过这种分离，applyViewTransform 专注于处理摄像机的姿态和位置，将所有世界坐标系下的点转换到摄像机自身的局部坐标系中。而 applyPerspectiveTransform 则纯粹负责将摄像机坐标系中的三维点投影到二维屏幕上，并且由于近平面裁剪的存在，我们能够保证传递给它的 d.z 值始终是正数，从而避免了轴反转问题。
注意事项与最佳实践
- 近平面设置：nearPlane 的值应根据场景需要进行调整，但必须是一个正数，且不能过小（接近0可能导致浮点精度问题）。
- 性能优化：对于复杂的3D场景，线段级别的裁剪效率可能不高。更高级的3D引擎会采用视锥体裁剪（Frustum Culling）和三角形裁剪等技术，以更高效地处理几何体。
- 矩阵库：手动实现矩阵乘法和旋转矩阵虽然有助于理解原理，但在实际开发中，推荐使用成熟的线性代数库（如Processing内置的 PMatrix3D 或自定义的 Matrix4f 类），它们通常经过优化且不易出错。
- 坐标系约定：在3D图形中，不同的API和库可能有不同的坐标系约定（例如左手坐标系或右手坐标系，Y轴向上或Z轴向上）。理解并统一项目中的坐标系约定至关重要。
总结
通过引入近平面裁剪机制，并对3D投影过程进行模块化拆分，我们可以有效地解决摄像机旋转时物体投影出现轴反转的问题。applyViewTransform 将物体从世界空间转换到摄像机空间，applyPerspectiveTransform 则完成最终的透视投影。这种方法不仅保证了渲染的正确性，也提升了代码的清晰度和可维护性，是3D图形编程中处理透视投影的核心技术之一。
