寻找平面上距离原点最近且超出给定半径的整数坐标点

import java.util.Scanner;

public class DiscDistrictQuadratic {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner new_scanner = new Scanner(System.in);
        int radius = new_scanner.nextInt();
        new_scanner.close();

        double min_max_dist = Double.MAX_VALUE;
        int[] new_min_pair = new int[2];

        // 遍历x的范围，通常从1到radius，或根据问题特性优化
        for (int i = 1; i <= radius; i++) {
            // 遍历y的范围，通常从i到radius，确保y >= x
            for (int j = i; j <= radius; j++) {
                double new_dist = Math.sqrt(Math.pow(i, 2) + Math.pow(j, 2));

                if (new_dist > radius) {
                    if (min_max_dist > new_dist) {
                        min_max_dist = new_dist;
                        new_min_pair[0] = i;
                        new_min_pair[1] = j;
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(new_min_pair[0] + " " + new_min_pair[1]);
    }
}

import java.util.Scanner;

public class DiscDistrictLinear {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner new_scanner = new Scanner(new_scanner);
        int radius = new_scanner.nextInt();
        new_scanner.close();

        double min_max_dist = Double.MAX_VALUE; // 初始化为最大值，以便后续更新
        int[] result_pair = new int[2]; // 存储最终结果 (x, y)

        // 优化i的遍历范围：
        // 1. i <= radius 是显而易见的。
        // 2. i从 radius / 2 开始是一个常见的启发式优化，因为当i过小时，j会非常接近radius，
        //    此时sqrt(i^2 + j^2)会略大于radius，但通常不是最小的。
        //    最小的距离通常发生在i和j的值相对接近时（例如i和j都接近r/sqrt(2)）。
        //    这个范围确保了我们能找到最优解，同时避免了不必要的早期迭代。
        for (int i = (radius / 2); i <= radius; i++) {
            // 计算j的最小起始值，使其满足 j > sqrt(r^2 - i^2)
            // Math.pow(radius, 2) - Math.pow(i, 2) 确保了平方根内的值非负，因为 i <= radius
            int start_j_from_inequation = (int) Math.floor(Math.sqrt(Math.pow(radius, 2) - Math.pow(i, 2))) + 1;

            // 确保 j >= i，并使用上面计算出的最小j值
            int j = Math.max(i, start_j_from_inequation);

            // 计算当前 (i, j) 对的距离
            double current_dist = Math.sqrt(Math.pow(i, 2) + Math.pow(j, 2));

            // 检查当前距离是否大于半径且小于已找到的最小距离
            // current_dist > radius 条件在 j 的计算中已经隐含满足，但显式检查更清晰
            if (current_dist > radius) {
                if (min_max_dist > current_dist) {
                    min_max_dist = current_dist;
                    result_pair[0] = i;
                    result_pair[1] = j;
                }
            }
        }
        System.out.println(result_pair[0] + " " + result_pair[1]);
    }
}