本文探讨如何将一个整数数组划分为子集a和b，以满足特定条件：a和b互斥且构成原数组，子集a的元素数量最小，且其元素和大于子集b的元素和。若存在多个满足条件的a，则选择元素和最大的一个。针对传统贪心算法的局限性，本文详细阐述了如何利用整数线性规划（ilp）构建数学模型，从而系统地解决此类复杂的组合优化问题，并兼顾多目标优化策略。
问题概述与挑战
给定一个整数数组 nums，我们需要将其划分为两个子集 A 和 B，并严格遵循以下条件：
- 子集 A 和 B 的交集为空（A ∩ B = ∅）。
- 子集 A 和 B 的并集等于原始数组（A ∪ B = nums）。
- 子集 A 中的元素数量必须是最小的。
- 子集 A 的元素和必须严格大于子集 B 的元素和（sum(A) > sum(B)）。
- 最终返回的子集 A 应按升序排列。
- 如果在满足前四个条件的前提下，存在多个满足最小元素数量的子集 A，则应返回其中元素和最大的一个。
这个问题的核心在于其多重优化目标和严格的约束条件。一个常见的误区是尝试使用贪心算法来解决。例如，考虑以下贪心策略：首先将数组降序排序，然后迭代地将元素添加到子集 A，直到 sum(A) 首次大于 sum(B)，之后将剩余元素添加到子集 B。
我们以 nums = [2,2,2,5] 这个测试用例来分析这种贪心策略：
示例代码：不成功的贪心尝试
def subsetA_greedy(nums):
nums.sort(reverse=True) # 降序排序: [5, 2, 2, 2]
subset_a = []
sum_a = 0
sum_b = 0
for num in nums:
# 尝试在 sum_a 不大于 sum_b 时将元素加入 A
if sum_a <= sum_b:
sum_a += num
subset_a.append(num)
else:
# 否则将元素“分配”给 B (这里只是计算 sum_b，未实际构建 B)
sum_b += num
return sorted(subset_a) # 返回的 A 仍需检查是否满足 sum(A) > sum(B)运行分析 subsetA_greedy([2,2,2,5])：
- nums 排序后为 [5, 2, 2, 2]。
- num = 5：sum_a (0)
- num = 2：sum_a (5)
- num = 2：sum_a (5)
