本教程详细阐述如何将一个给定的数字字符串分解成最少数量的加数，每个加数仅由'0'和'1'组成，且长度与原字符串相同。文章采用贪心策略，通过逐位处理数字，每次构造一个尽可能大的、仅含'0'和'1'的加数，并从原数字的各数位上减去相应的贡献，直至所有数位归零。
问题概述
给定一个表示数字的字符串 S，目标是将其分解为最少数量的加数之和。这些加数必须满足两个条件：
- 每个加数仅由字符 '0' 和 '1' 组成。
- 每个加数的长度与原始字符串 S 的长度相同。
例如，对于输入 3401，其分解结果为 1101 + 1100 + 1100 + 0100 = 3401，共需要 4 个加数。
核心算法思想
为了找到最少数量的加数，我们应该采取一种贪心策略：在每一步中，尽可能地构造一个“最大”的、仅包含 '0' 和 '1' 的加数。这意味着，对于原始数字字符串的每一个数位，如果该数位的值大于 0，则当前构造的加数在该位置上应为 '1'；否则，为 '0'。完成一个加数构造后，我们需要将原始数字字符串的对应数位减去这个加数在该数位上的贡献（即减去 '1' 或 '0'），然后重复此过程，直到原始数字的所有数位都变为 0。
这种方法的直观解释是：每个加数都尝试“覆盖”原始数字中所有非零的数位。由于每个加数在每个位置上最多只能贡献一个 '1'，因此所需的加数数量将由原始数字中最大的那个数位决定。例如，如果某个数位是 '4'，那么至少需要 4 个加数才能在那个位置上累积到 '4'。
详细步骤
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初始化：
- 将输入的数字字符串 S 转换为一个整数数组 arr，其中 arr[i] 存储了 S 中第 i 个字符对应的数字。
- 同时，将整个字符串 S 转换为一个整数 num，用于作为循环终止条件（当 num 归零时，表示所有加数已找到）。
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迭代分解：
- 进入一个 while 循环，只要 num 大于 0 就继续。
- 在每次循环中，创建一个空的 StringBuilder temp，用于构建当前的加数。
- 遍历整数数组 arr：
- 如果 arr[i] 大于 0，说明当前数位还有剩余值需要被分解。我们将 '1' 追加到 temp 中，并将 arr[i] 减 1。
- 如果 arr[i] 等于 0 或小于 0（表示该数位已完全分解），则将 '0' 追加到 temp 中，并将 arr[i] 减 1（这一步确保即使是已为0的数位，其内部计数也会递减，但不会影响逻辑，因为 if(arr[i]>0) 已经过滤了）。
- 将构建好的 temp 字符串打印出来（或存储起来）。
- 将 temp 字符串转换回整数 var，并从 num 中减去 var。这一步是关键，它确保 num 最终会归零，从而终止循环。
示例演示 (输入: 3401)
我们以输入 3401 为例，逐步演示算法过程：
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初始化：
- S = "3401"
- arr = [3, 4, 0, 1]
- num = 3401
-
第一次迭代 (num = 3401 > 0):
- temp = ""
- i=0: arr[0]=3 > 0。temp 追加 '1'。arr[0] 变为 2。
- i=1: arr[1]=4 > 0。temp 追加 '1'。arr[1] 变为 3。
- i=2: arr[2]=0。temp 追加 '0'。arr[2] 变为 -1。
- i=3: arr[3]=1 > 0。temp 追加 '1'。arr[3] 变为 0。
- 当前加数 temp = "1101"。
- 打印 1101。
- var = 1101。num = 3401 - 1101 = 2300。
- arr 变为 [2, 3, -1, 0]。
-
第二次迭代 (num = 2300 > 0):
- temp = ""
- i=0: arr[0]=2 > 0。temp 追加 '1'。arr[0] 变为 1。
- i=1: arr[1]=3 > 0。temp 追加 '1'。arr[1] 变为 2。
- i=2: arr[2]=-1。temp 追加 '0'。arr[2] 变为 -2。
- i=3: arr[3]=0。temp 追加 '0'。arr[3] 变为 -1。
- 当前加数 temp = "1100"。
- 打印 1100。
- var = 1100。num = 2300 - 1100 = 1200。
- arr 变为 [1, 2, -2, -1]。
-
第三次迭代 (num = 1200 > 0):
- temp = ""
- i=0: arr[0]=1 > 0。temp 追加 '1'。arr[0] 变为 0。
- i=1: arr[1]=2 > 0。temp 追加 '1'。arr[1] 变为 1。
- i=2: arr[2]=-2。temp 追加 '0'。arr[2] 变为 -3。
- i=3: arr[3]=-1。temp 追加 '0'。arr[3] 变为 -2。
- 当前加数 temp = "1100"。
- 打印 1100。
- var = 1100。num = 1200 - 1100 = 100。
- arr 变为 [0, 1, -3, -2]。
-
第四次迭代 (num = 100 > 0):
- temp = ""
- i=0: arr[0]=0。temp 追加 '0'。arr[0] 变为 -1。
- i=1: arr[1]=1 > 0。temp 追加 '1'。arr[1] 变为 0。
- i=2: arr[2]=-3。temp 追加 '0'。arr[2] 变为 -4。
- i=3: arr[3]=-2。temp 追加 '0'。arr[3] 变为 -3。
- 当前加数 temp = "0100"。
- 打印 0100。
- var = 100。num = 100 - 100 = 0。
- arr 变为 [-1, 0, -4, -3]。
循环结束： num 现在是 0，循环终止。
最终输出的加数是 1101, 1100, 1100, 0100，共 4 个，与示例要求一致。
Java 实现代码
import java.util.Scanner;
public class NumberDecomposition {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
System.out.print("请输入一个数字字符串: ");
String s = sc.next();
int len = s.length();
// 将输入字符串的每个数字存储到数组中
int[] arr = new int[len];
for (int i = 0; i < len; i++) {
arr[i] = Integer.parseInt(String.valueOf(s.charAt(i)));
}
// 将整个字符串转换为整数，作为循环终止条件
int num = Integer.parseInt(s);
System.out.println("分解过程中的加数:");
// 循环直到原始数字完全分解
while (num > 0) {
StringBuilder temp = new StringBuilder();
// 遍历每个数位，构建当前的加数
for (int i = 0; i < len; i++) {
// 如果当前数位还有剩余值，则加数在该位置为 '1'
if (arr[i] > 0) {
temp.append(1);
} else {
// 否则为 '0'
temp.append(0);
}
// 无论是否贡献 '1'，该数位的计数都减 1
// 这样可以追踪每个数位还需要多少个 '1' 来累加
arr[i]--;
}
// 打印当前生成的加数
System.out.println(temp);
// 将生成的加数转换为整数，并从总数中减去
// 这确保了 num 最终会归零，从而终止循环
int var = Integer.parseInt(temp.toString());
num -= var;
}
sc.close();
}
}注意事项与总结
- 贪心选择的正确性： 这种贪心策略之所以有效，是因为每个数位都是独立累加的。为了使加数数量最少，我们必须在每一步都尽可能地“消耗”掉所有非零数位的贡献，即生成一个尽可能多的 '1' 的加数。最终所需的加数数量将等于原始数字字符串中最大的那个数位的值。
- arr[i]-- 的作用： 代码中 arr[i]-- 语句无论 arr[i] 是否大于 0 都会执行。对于 arr[i] > 0 的情况，它正确地表示该数位已贡献了一个 '1'；对于 arr[i] 0) 依然会正确处理。
- num 变量的用途： 变量 num 存储的是原始数字的当前剩余总和。当 num 变为 0 时，意味着所有原始数字的价值都被分解成了由 '0' 和 '1' 组成的加数。
- 时间复杂度： 设输入字符串长度为 L，输入数字中的最大数位为 M。外层 while 循环会执行 M 次（因为每次迭代，至少有一个数位会从 M 减到 M-1）。内层 for 循环会执行 L 次。因此，总的时间复杂度为 O(M * L)。
- 空间复杂度： 主要使用了 arr 数组和 StringBuilder，空间复杂度为 O(L)。
通过上述方法，我们可以高效且准确地将一个数字字符串分解为最少数量的仅含 '0' 和 '1' 的加数。
