使用记忆化技术的递归斐波那契程序的数学时间复杂度证明-java教程-PHP中文网

使用记忆化技术的递归斐波那契程序的数学时间复杂度证明

花韻仙語

发布： 2025-11-16 13:06:06

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使用记忆化技术的递归斐波那契程序的数学时间复杂度证明

本文旨在通过数学方法证明使用记忆化（Memoization）优化的递归斐波那契程序的线性时间复杂度 O(n)。文章将从标准的递归斐波那契程序的指数级时间复杂度 O(2^n) 出发，分析记忆化如何减少重复计算，从而将时间复杂度降低到线性级别。通过递归调用树的对比，清晰地展示记忆化技术在优化递归算法中的作用，并最终给出数学推导证明。

递归斐波那契数列及其时间复杂度分析

斐波那契数列是一个经典的递归问题。其定义如下：

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (for n > 1)

一个简单的递归实现如下：

public class Fibonacci {

    public static long fibonacci(int n) {
        if (n <= 1) {
            return n;
        }
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = 10;
        System.out.println("Fibonacci(" + n + ") = " + fibonacci(n));
    }
}

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然而，这种朴素的递归方法效率极低，其时间复杂度为 O(2^n)。这是因为在计算 fibonacci(n) 时，fibonacci(n-1) 和 fibonacci(n-2) 会被重复计算多次。例如，计算fibonacci(5)，fibonacci(3)会被多次调用，造成了大量的冗余计算。

记忆化（Memoization）优化

记忆化是一种动态规划的优化技术，它通过存储已经计算过的结果，避免重复计算，从而提高效率。在递归斐波那契数列中，我们可以使用一个数组 memo 来存储已经计算过的斐波那契数。

public class FibonacciMemoization {

    private static long[] memo;

    public static long fibonacci(int n) {
        memo = new long[n + 1];
        return fib(n);
    }

    private static long fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;

        if (memo[n] != 0) {
            return memo[n];
        }

        long result = fib(n - 1) + fib(n - 2);
        memo[n] = result;

        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = 10;
        System.out.println("Fibonacci(" + n + ") = " + fibonacci(n));
    }
}

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在这个代码中，memo[n] 用于存储 fib(n) 的结果。在计算 fib(n) 之前，我们首先检查 memo[n] 是否已经存在值。如果存在，则直接返回存储的值，避免重复计算。