在编程竞赛的世界里，Codeforces 平台以其高质量的题目和激烈的竞争氛围吸引着无数算法爱好者。今天，我们将深入剖析 Educational Codeforces Round 111 中一道名为“曼哈顿子数组 (Manhattan Subarrays)”的问题，旨在帮助读者理解题意，掌握解题思路，并最终能够成功解决这一挑战。本文将围绕曼哈顿距离、坏三元组等核心概念展开，结合实例分析，力求将复杂的算法问题化繁为简，让读者在轻松愉快的阅读中提升算法能力。无论你是初学者还是经验丰富的竞赛选手，相信都能从中受益匪浅。
理解曼哈顿距离的定义及其计算方法，它是解决问题的基础。
掌握“坏三元组”的概念，明确子数组何时被判定为“坏”。
学会识别并排除包含坏三元组的子数组，计数所有“好”子数组。
采用合适的算法策略，例如暴力枚举法，在时间复杂度允许的范围内解决问题。
进行充分的测试和调试，确保代码能够正确处理各种输入情况。
在解决“曼哈顿子数组”问题之前，我们需要理解曼哈顿距离的概念。
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曼哈顿距离，也称为出租车距离或 L1 范数，是衡量在具有直角网格结构的二维空间中两点之间距离的一种方式。与欧几里得距离不同，曼哈顿距离只允许沿坐标轴方向移动。对于两个点 p(xp, yp) 和 q(xq, yq)，它们之间的曼哈顿距离定义为：
d(p, q) = |xp - xq| + |yp - yq|
简单来说，就是横坐标差的绝对值加上纵坐标差的绝对值。例如，如果 p(1, 2)，q(4, 6)，那么它们的曼哈顿距离就是 |1 - 4| + |2 - 6| = 3 + 4 = 7。这种距离计算方式在城市规划、路径选择等领域有着广泛的应用。理解曼哈顿距离的计算是解决“曼哈顿子数组”问题的先决条件，因为它直接影响到我们对“坏三元组”的判定。
理解了曼哈顿距离之后，我们需要深入理解“坏三元组”的概念，这是解决“曼哈顿子数组”问题的核心。
在“曼哈顿子数组”问题中，给定三个点 p、q 和 r，如果 d(p, r) = d(p, q) + d(q, r)，那么这三个点就构成一个“坏三元组”。换句话说，p 到 r 的曼哈顿距离等于 p 到 q 的曼哈顿距离加上 q 到 r 的曼哈顿距离。
从几何意义上讲，这意味着 p、q 和 r 三点共线，且 q 点位于 p 和 r 之间。如果在一个子数组中找到了这样的“坏三元组”，那么这个子数组就被认为是“坏”的。因此，要解决“曼哈顿子数组”问题，关键在于识别并排除所有包含“坏三元组”的子数组，然后计数剩下的“好”子数组。
现在，我们来正式地陈述“曼哈顿子数组”问题。
给定一个数组 a，包含 n 个整数 a1, a2, ..., an。一个子数组 a[l...r] 被认为是“好”的，如果在这个子数组中，无法找到三个不同的索引 i、j 和 k (l
问题的目标是计算给定数组 a 中“好”子数组的数量。需要注意的是，根据定义，长度为 1 和 2 的子数组总是“好”的，因为它们无法构成三元组。
虽然暴力枚举法已经能够解决“曼哈顿子数组”问题，但对于追求更高效率的算法爱好者来说，探索更优的解法仍然具有意义。一个可能的优化方向是考虑动态规划。我们可以定义一个二维数组 dp[i][j]，表示以 i 为起始位置，j 为结束位置的子数组是否为“好”子数组。然后，我们可以利用 dp 数组来避免重复计算，从而降低时间复杂度。
此外，还可以尝试使用分治法。将原数组分成两个子数组，分别计算两个子数组中“好”子数组的数量，然后再合并两个子数组的结果。分治法可以将问题分解为更小的子问题，从而降低时间复杂度。
这些优化策略的实现需要更深入的算法知识和编程技巧，感兴趣的读者可以自行探索。
了解曼哈顿距离的应用领域，可以帮助我们更好地理解其在实际问题中的价值。 曼哈顿距离，也被称为出租车距离，因其在城市街区中计算两点间距离的方式与出租车行驶路线相似而得名。它在多个领域都有广泛应用，包括：
针对“曼哈顿子数组”问题，最直接的解题思路就是采用暴力枚举法。
由于题目对数组长度的限制 (n
暴力枚举法虽然简单，但其时间复杂度较高，为 O(n^5)，其中 n 是数组的长度。然而，由于题目对数据规模的限制，这种方法仍然可以在限定的时间内通过测试。
虽然暴力枚举法可以解决问题，但我们仍然可以通过一些优化来提高代码的效率。
一个关键的优化点是利用已知信息减少不必要的计算。例如，题目中明确指出，长度为 1 和 2 的子数组总是“好”的。因此，在枚举子数组时，可以直接跳过长度小于等于 2 的子数组的坏三元组检查，从而节省计算时间。
此外，我们可以利用“坏三元组”的传递性。也就是说，如果子数组 a[l...r] 包含坏三元组，那么任何包含 a[l...r] 的更大的子数组也必然包含坏三元组。因此，一旦发现某个子数组是“坏”的，就可以立即停止对包含该子数组的更大子数组的检查，从而避免不必要的计算。
以下是 C++ 语言实现的“曼哈顿子数组”问题的代码示例，该示例采用了暴力枚举法，并结合了上述优化策略：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool isGood(const vector<int>& arr) {
int n = arr.size();
if (n <= 2) {
return true;
}
for (int i = 0; i < n - 2; ++i) {
for (int j = i + 1; j < n - 1; ++j) {
for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
if (abs(i - k) + abs(arr[i] - arr[k]) == abs(i - j) + abs(arr[i] - arr[j]) + abs(j - k) + abs(arr[j] - arr[k])) {
return false;
}
}
}
}
return true;
}
int main() {
int t;
cin >> t;
while (t--) {
int n;
cin >> n;
vector<int> a(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> a[i];
}
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = i; j < n; ++j) {
vector<int> subArray;
for (int k = i; k <= j; ++k) {
subArray.push_back(a[k]);
}
if (isGood(subArray)) {
count++;
}
}
}
cout << count << endl;
}
return 0;
}在实际编写代码时，需要注意以下几点：
实现简单，易于理解。
无需复杂的算法知识，容易上手。
在数据规模较小的情况下，可以快速解决问题。
? Cons时间复杂度高，为 O(n^5)，不适合处理大规模数据。
效率较低，可能无法在限定的时间内通过测试。
没有充分利用问题的特性，存在大量重复计算。
什么是子数组？
子数组是指从一个数组中截取的一段连续的元素。例如，对于数组 [1, 2, 3, 4, 5]，[2, 3, 4] 就是一个子数组，而 [1, 3, 5] 不是，因为它不是连续的。
为什么长度为 1 和 2 的子数组总是“好”的？
因为“坏三元组”的定义要求三个不同的索引 i、j 和 k。长度为 1 和 2 的子数组无法构成这样的三元组，因此它们总是“好”的。
暴力枚举法的时间复杂度是多少？
暴力枚举法的时间复杂度为 O(n^5)，其中 n 是数组的长度。这是因为我们需要枚举所有可能的子数组（O(n^2)），然后对于每个子数组，检查是否包含坏三元组（O(n^3)）。
有哪些优化“曼哈顿子数组”问题的思路？
优化的方向包括利用已知信息减少不必要的计算，例如直接跳过长度小于等于 2 的子数组的坏三元组检查。此外，还可以尝试使用动态规划或分治法等算法策略。
如何判断三个点是否共线？
判断三个点是否共线是解决“曼哈顿子数组”问题的关键步骤之一。除了计算曼哈顿距离之外，还有其他方法可以判断三个点是否共线，例如： 斜率法：计算两两点之间的斜率。如果三个点共线，那么任意两对点之间的斜率都应该相等。需要注意的是，当斜率不存在时（即直线垂直于 x 轴），需要进行特殊处理。 面积法：计算由三个点构成的三角形的面积。如果三个点共线，那么三角形的面积应该为 0。可以使用行列式来计算三角形的面积。 向量法：计算由三个点构成的两个向量。如果三个点共线，那么这两个向量应该共线，即一个向量是另一个向量的倍数。 这些方法各有优缺点，选择哪种方法取决于具体的应用场景和编程语言。在“曼哈顿子数组”问题中，由于已经需要计算曼哈顿距离，因此直接利用曼哈顿距离来判断是否构成“坏三元组”可能是最简洁高效的方法。
以上就是Codeforces Manhattan Subarrays: 解题思路与技巧的详细内容，更多请关注php中文网其它相关文章！
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