本文介绍如何使用 `np.einsum` 或广播机制，对二维数组按行应用不同权重向量（如幂级数），实现无显式循环的批量加权求和运算。
在科学计算中，常需将一个形状为 (m, n) 的矩阵 a 的每一行，分别与一个形状为 (m, k) 的权重矩阵 c 的对应行进行逐元素相乘，再沿行方向（即 axis=0）求和，最终得到形状为 (n, k) 的结果。例如，给定：
import numpy as np
a = np.array([[20, 12, 6],
[12, 24, 18],
[ 0, 14, 30]])
b = np.array([1, 0.5])
c = np.array([b ** i for i in range(0, 3)][::-1]) # shape: (3, 2)
# c = [[1. , 0.25],
# [1. , 0.5 ],
# [1. , 1. ]]目标是计算：对 c 的每一列 j，执行 (a[i, :] * c[i, j]).sum(axis=0)，即每行用 c 的第 i 行第 j 列加权，再按列累加。等价于矩阵乘法的“行-列加权点积”泛化形式。
✅ 推荐方案：np.einsum（清晰、高效、内存友好）
einsum 可精确描述索引操作：'ij,ik->jk' 表示对 a[i,j] 和 c[i,k] 沿共享索引 i 求和，输出 j（列维）× k（权重维）：
result = np.einsum('ij,ik->jk', a, c)
print(result)
# [[32. 11. ]
# [50. 29. ]
# [54. 40.5]]注意：np.einsum('ij,ik', a, c) 省略 ->jk 时默认求和并返回 jk，效果相同，但显式写出更利于理解。
⚠️ 替代方案：广播 + sum()（直观但内存开销大）
通过维度扩展实现广播：
# a[:, None] → (3, 1, 3) # c[:, :, None] → (3, 2, 1) # 广播后 shape: (3, 2, 3) intermediate = a[:, None] * c[:, :, None] result = intermediate.sum(axis=0) # 沿 axis=0（原行维）求和 → (2, 3) # [[32. 50. 54. ] # [11. 29. 40.5]]
⚠️ 此结果形状为 (k, n)（即 (2, 3)），与 einsum 的 (n, k) 转置关系。若需严格一致，可写为 .sum(0).T 或调整广播维度顺序。
? 关键总结：
- np.einsum('ij,ik->jk', a, c) 是最自然、高效且不易出错的解法，语义明确，性能优；
- 广播方案虽直观，但会临时创建 (m, k, n) 大数组，当 m, k, n 较大时易触发内存瓶颈；
- 避免使用 Python 循环或 np.vectorize（后者不真正向量化）；
- 若 c 来源于多项式基（如 b**0, b**1, b**2），还可考虑 np.polynomial.polynomial.polyvander 配合 @ 运算优化，但通用性不如 einsum。
掌握 einsum 的索引逻辑，是解锁 NumPy 高阶张量运算的关键一步。
