应使用秦九韶算法而非pow()计算多项式，因其避免重复幂运算、提升精度与稳定性；C++实现需按降幂系数顺序从a[0]开始递推result = result * x + a[i]，注意空数组、升幂误用及整数溢出时类型提升。
为什么不用 pow() 直接算多项式
用 pow(x, i) 逐项计算 a[i] * x^i 看似直观，但实际开销大：每次调用 pow() 都涉及浮点运算、查表或迭代，且重复计算高次幂（比如 x^3 里已算过 x^2，却没复用）。更严重的是，当系数数组很长或 x 绝对值较大时，pow() 可能因精度丢失或溢出导致结果异常。秦九韶算法本质是递推化简，把 n 次多项式转成 n 次乘加，避免幂运算，也更稳定。
秦九韶算法的 C++ 实现要点
核心公式：对多项式 P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ，等价于嵌套形式 P(x) = ((a₀)x + a₁)x + a₂) ... )x + aₙ。注意系数顺序——标准输入常按降幂排列（a[0] 是最高次项系数），但算法从 a[0] 开始累乘累加。
- 输入系数数组
a长度为n+1，对应n次多项式 - 初始化结果为
a[0]，然后循环n次：每次执行result = result * x + a[i] - 循环下标从
1到n（含），不能越界 - 若系数按升幂存储（即
a[0]是常数项），需先反转数组，否则结果错误
double horner(const std::vector& a, double x) { if (a.empty()) return 0.0; double result = a[0]; for (size_t i = 1; i < a.size(); ++i) { result = result * x + a[i]; } return result; }
处理整数系数和溢出风险
如果系数全是整数，但中间结果可能超出 int 范围（例如高次、大 x），直接用 int 累加会溢出。此时必须提升到更大类型：
- 用
long long替代int，适用于多数 OJ 场景（|x| ,n ） - 若
x或系数极大（如 10⁹ 量级），即使long long也可能在乘法时溢出，需改用__int128（GCC）或模意义下计算 - 无符号类型不推荐——负系数很常见，强制转无符号会导致逻辑错误
示例：整数版（防溢出）
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long long horner_int(const std::vector& a, long long x) { if (a.empty()) return 0; long long result = a[0]; for (size_t i = 1; i < a.size(); ++i) { result = result * x + a[i]; } return result; }
边界与调试常见错误
实际写的时候最容易栽在三处：
- 系数数组为空或只含一个元素——函数要单独判断，否则循环不执行，但初始值
a[0]可能越界 - 误把升幂顺序当降幂用：比如传入
{1, 2, 3}意图表示1 + 2x + 3x²，但按标准秦九韶实现会算成1x² + 2x + 3，结果完全不对 -
std::vector::size()返回size_t（无符号），若循环中写成i >= 0倒序遍历，i--到0后继续减会绕成极大正数，导致崩溃
建议调试时用小例子手算验证：比如 a = {2, -3, 1}（即 2x² - 3x + 1），x = 2，应得 2*4 -3*2 +1 = 3；用算法走一遍：res=2 → 2*2+(-3)=1 → 1*2+1=3，对得上才算正确。
