三角形数是能表示为k(k+1)/2的正整数n，等价于1+8n为完全平方数且其平方根减1为正偶数；需用round后平方验证避免浮点精度误差。
什么是三角形数，以及它的数学定义
一个正整数 n 是三角形数，当且仅当存在某个正整数 k，使得 n = k * (k + 1) / 2。换句话说，它能排成等边三角形点阵，比如 1、3、6、10、15……都是三角形数。
直接遍历 k 从 1 开始试算虽可行，但效率低；更优解是利用代数变形：把等式整理为二次方程 k² + k − 2n = 0，解得 k = (−1 + sqrt(1 + 8n)) / 2。只要这个 k 是正整数，n 就是三角形数。
用 sqrt 判断是否为三角形数（推荐）
核心思路：计算 1 + 8 * n 的平方根，检查它是否为整数，再验证除以 2 后是否为正整数。
注意浮点精度问题——不能直接用 == 比较 double，要用取整后反向验证。
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- 先确保
n > 0，负数和零都不是三角形数 - 计算
discriminant = 1 + 8LL * n（用long long防溢出） - 用
std::sqrt得到root = std::sqrt(discriminant) - 取最接近的整数
int k = static_cast，再检查(std::round(root)) k * k == discriminant - 最后验证
(k - 1) % 2 == 0且(k - 1) / 2 > 0，即对应正整数k
bool isTriangular(long long n) {
if (n <= 0) return false;
long long disc = 1 + 8 * n;
long long root = static_cast(std::round(std::sqrt(static_cast(disc))));
if (root * root != disc) return false;
return (root - 1) % 2 == 0 && (root - 1) / 2 > 0;
}
为什么不用 std::sqrt 直接转 int 截断？
因为 std::sqrt 返回 double，而大整数（如 disc > 2⁵³）无法被 double 精确表示。例如当 n = 1e12，disc = 8e12 + 1，其真实平方根可能被表示为 2828427.1247461903...，截断成 int 得到 2828427，但实际应为 2828427 或 2828428 —— 错一位就导致 k * k != disc 判定失败。
所以必须用 round + 平方回检，而不是 floor 或强制 static_cast。
- 不安全写法：
int root = (int)sqrt(disc);→ 易错判否 - 安全写法：先
round，再验证root * root == disc - 对极大
n（如接近LLONG_MAX），可改用整数开方（如二分或std::sqrtl+long double），但日常场景double+round已足够
边界与性能注意事项
该方法时间复杂度是 O(1)，远优于暴力循环找 k。但要注意几个易忽略点：
-
n类型应为long long或更大，否则8 * n可能溢出int -
std::sqrt对负数未定义，必须提前过滤n - 某些编译器（如 MSVC）对
sqrt的double精度略低，若用于金融/验证级场景，建议加 ±1 容错校验（即检查(root-1)*(root-1)、root*root、(root+1)*(root+1)是否等于disc）
真正难的不是公式，而是处理整型溢出和浮点舍入这两个细节。漏掉任意一个，都可能在某个大数上静默返回错误结果。
