少了一个 /api

根据题主的要求
需要把 http://localhost:8080/api => http://localhost:8088/api

但是

location ^~ /api/ {
    proxy_pass http://localhost:8088/;
    ...
}

实现的是 http://localhost:8080/api => http://localhost:8088/
所以需要访问 http://localhost:8080/api/api 才可以访问到真实的 端点.
改成

location ^~ /api/ {
    proxy_pass http://localhost:8088/api;
    ...
}

即可

你那个server_name 不是127.0.0.1吗？
localhost不一定就代表127.0.0.1吧？