C语言算法问答集：破解动态规划问题-C++-PHP中文网

C语言算法问答集：破解动态规划问题

WBOY

发布： 2024-10-08 18:06:02

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动态规划算法通过子问题重叠和最优子结构优化问题求解效率。最长公共子序列、0-1 背包问题和扩展欧几里得算法都是常见的动态规划问题，可使用 c 语言实现。实战案例中，动态规划用于查找网格中从左上角到右下角路径上的最大和，通过创建表格存储子问题解决方案，以避免重复计算。

C语言算法问答集：破解动态规划问题

C语言算法问答集：破解动态规划问题

动态规划是一种用于解决特定问题的算法范例，它通过分解问题为子问题并存储子问题的解决方案来优化效率。对于初学者来说，理解动态规划的概念和实施方式至关重要。

核心概念

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子问题重叠：动态规划问题通常具有重叠子问题，即解决较小子问题是解决较大问题的重要组成部分。
最优子结构：问题的最优解可以通过其子问题的最优解构建。
记忆化：存储子问题的解决方案，以避免重新计算。

常见问题

下面列出了一些常见的动态规划问题及其 C 语言解决方案：

最长公共子序列（LCS）

int lcs(char *X, char *Y) {
    int m = strlen(X);
    int n = strlen(Y);
    int L[m + 1][n + 1];

    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            if (i == 0 || j == 0)
                L[i][j] = 0;
            else if (X[i - 1] == Y[j - 1])
                L[i][j] = L[i - 1][j - 1] + 1;
            else
                L[i][j] = max(L[i - 1][j], L[i][j - 1]);
        }
    }

    return L[m][n];
}

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0-1 背包

int knapsack(int weights[], int values[], int W, int n) {
    int K[n + 1][W + 1];

    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= W; j++) {
            if (i == 0 || j == 0)
                K[i][j] = 0;
            else if (weights[i - 1] <= j)
                K[i][j] = max(values[i - 1] + K[i - 1][j - weights[i - 1]], K[i - 1][j]);
            else
                K[i][j] = K[i - 1][j];
        }
    }

    return K[n][W];
}

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扩展欧几里得算法（GCD）

int gcdExtended(int a, int b) {
    if (b == 0)
        return a;

    return gcdExtended(b, a % b);
}

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实战案例

假设我们有一个网格，其中每个单元格包含一个整数。我们的目标是找到从左上角到右下角的路径，使得路径上单元格的和最大。我们只能向下或向右移动。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们定义一个表 dp，其中 dp[i, j] 表示从左上角到单元格 (i, j) 的最大路径和。以下是如何使用 C 语言实现该算法：

#include <stdio.h>

int main() {
    int grid[4][4] = {
        {1, 2, 3, 4},
        {5, 6, 7, 8},
        {9, 10, 11, 12},
        {13, 14, 15, 16}
    };

    int dp[4][4];  // 表格 dp

    dp[0][0] = grid[0][0];  // 初始化左上角单元格
    for (int i = 1; i < 4; i++) {
        dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];  // 初始化顶部行
    }

    for (int i = 1; i < 4; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];  // 初始化左侧列
    }

    for (int i = 1; i < 4; i++) {
        for (int j = 1; j < 4; j++) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];  // 更新表格
        }
    }

    printf("从左上角到右下角的最大路径和为 %d\n", dp[3][3]);  // 打印结果

    return 0;
}

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输出：

从左上角到右下角的最大路径和为 49

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