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曲线积分换元：如何用正弦函数替换积分变量？ 或 如何将曲线积分的积分变量换成正弦函数？

聖光之護
发布： 2024-11-30 15:12:35
原创
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曲线积分换元：如何用正弦函数替换积分变量？ 或 如何将曲线积分的积分变量换成正弦函数？

曲线积分化运算

如何将曲线积分中积分变量换元为正弦函数？

解答：

该运算并不是使用极坐标进行转换，而是使用了简单的变量代换。

设 y = sin(t)，则：

  • y 在 (0,1) 对应 t 在 (0,π/2)
  • y = sin(t) 可导，且 dy/dt = cos(t)

因此，直接代换 y = sin(t) 即可：

∫[0,1] y^2 / √(1 - y^2) dy
= ∫[0,π/2] sin^(2)t / √(1 - sin^(2)t) d(sin t)
= ∫[0,π/2] sin^(2)t / √(cos^(2)t) cos t dt
= ∫[0,π/2] sin^(2)t dt
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