SymPy牛顿法中符号与数值变量混淆的ValueError解析与修正

import sympy as sp

# 定义符号变量
x = sp.symbols('x')

# 定义多项式
p = x**5 + 11*x**4 - 21*x**3 - 10*x**2 - 21*x - 5

# 牛顿法函数
def newton_method_problematic(f, x0, tol, max_iter=100):
    # 问题所在：这里的 x 被重新赋值为数值 x0，覆盖了全局符号变量 x
    x = x0 
    iteration = 0
    while iteration < max_iter:
        # 在 f.subs(x, x) 和 f.diff(x).subs(x, x) 中，
        # 内部的 x 此时已是数值，而非符号变量
        x_next = x - f.subs(x, x) / f.diff(x).subs(x, x)
        if abs(x - x_next) < tol:
            return x_next
        x = x_next
        iteration += 1
    return None

# 尝试寻找实根（此处会触发错误）
# for i in range(5):
#     root = newton_method_problematic(p, i, 1e-5)
#     if root is not None:
#         print(root)

import sympy as sp

# 定义符号变量 (全局作用域)
x = sp.symbols('x')

# 定义多项式
p = x**5 + 11*x**4 - 21*x**3 - 10*x**2 - 21*x - 5

# 修正后的牛顿法函数
def newton_method(f, x_initial, tol, max_iter=100):
    # x_current 用于存储当前的数值迭代值
    x_current = x_initial 
    iteration = 0
    while iteration < max_iter:
        # f.subs(x, x_current): 将符号变量 x 替换为当前的数值 x_current
        # f.diff(x): 对全局符号变量 x 求导
        # .evalf(): 将结果从符号表达式转换为浮点数

        # 计算函数值和导数值
        f_val = f.subs(x, x_current).evalf()
        f_prime_val = f.diff(x).subs(x, x_current).evalf()

        # 避免除以零
        if f_prime_val == 0:
            # print(f"Warning: Derivative is zero at x = {x_current}. Cannot proceed.")
            return None

        # 牛顿迭代公式
        x_next = (x_current - f_val / f_prime_val)

        # 检查收敛性
        if abs(x_current - x_next) < tol:
            return x_next

        # 更新迭代值
        x_current = x_next
        iteration += 1
    return None # 未收敛

# 寻找实根
tolerance = 1e-5
real_roots = []

# 尝试不同的初始猜测值
for i in range(-10, 10): # 扩大初始猜测范围以找到更多根
    root = newton_method(p, float(i), tolerance) # 确保初始猜测是浮点数
    if root is not None and all(abs(root - r) > tolerance for r in real_roots): # 避免重复根
        real_roots.append(root)

print("Real roots found by Newton's method:", real_roots)

# 简化多项式以寻找复根
def reduce_polynomial(poly, root_val):
    # 使用符号变量 x 和数值 root_val 进行简化
    return sp.simplify(poly / (x - root_val))

# 寻找复根
complex_roots = []
# 为了更准确地找到所有根，通常在找到一个实根后，会将其从多项式中“除掉”，
# 得到一个降阶多项式，再对降阶多项式寻找剩余的根。
# 这里简化处理，直接对原始多项式进行SymPy的solve。
# 对于高阶多项式，SymPy的sp.solve通常能直接找到所有根（包括复根）。
# 但为了演示题意中的“reduce_polynomial”概念，我们仍沿用。
# 注意：reduce_polynomial 后再 sp.solve 可能会引入数值误差。
# 更健壮的方法是直接使用 sp.solve(p, x) 来获取所有根。

# 示例中，原意是利用实根来降低多项式阶数，然后求解降阶多项式。
# 但由于 reduce_polynomial 可能会引入浮点误差，
# 且 sp.solve 对浮点系数多项式处理不如符号多项式精确，
# 这里我们直接使用 sp.solve 求解原始多项式来获取所有（包括复数）根，
# 并与牛顿法找到的实根进行比较。
all_sympy_roots = sp.solve(p, x)
print("All roots (real and complex) found by SymPy's solve:", all_sympy_roots)

# 从 SymPy 找到的所有根中识别复根（非实数根）
for r in all_sympy_roots:
    if not r.is_real: # 检查是否是纯实数
        complex_roots.append(r.evalf()) # 转换为浮点数表示
print("Complex roots identified:", complex_roots)