算法的时间复杂度和空间复杂度是如何衡量程序执行效率的？

时间复杂度和空间复杂度是评估算法效率的核心指标。时间复杂度反映算法执行时间随输入规模增长的趋势，如O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)、O(n²)、O(2ⁿ)等，常关注最坏情况以确定性能上界；空间复杂度衡量算法运行时所需存储空间的增长趋势，包括变量、递归栈和动态结构占用，如O(1)、O(n)、O(n²)、O(log n)等。两者需综合权衡，例如归并排序时间O(n log n)但空间O(n)，堆排序时间相同却空间O(1)；动态规划以空间换时间，将指数级优化为多项式时间。实际选择算法时应根据场景侧重时间或空间效率，理解复杂度有助于设计高效、可扩展的程序。

算法的时间复杂度和空间复杂度是衡量程序执行效率的两个核心指标，它们从不同角度反映算法在处理数据时的资源消耗情况。

时间复杂度：衡量执行时间的增长趋势

时间复杂度描述的是算法运行时间随输入规模增长的变化趋势，而不是具体的运行时间（如秒或毫秒）。它关注的是基本操作的执行次数与输入数据量之间的关系。

• O(1)：常数时间，执行时间不随输入规模变化，例如访问数组元素
• O(log n)：对数时间，如二分查找
• O(n)：线性时间，如遍历数组
• O(n log n)：常见于高效排序算法，如快速排序、归并排序
• O(n²)：平方时间，如双重嵌套循环处理数组
• O(2ⁿ)：指数时间，通常出现在暴力递归解法中，效率较低

分析时我们通常关注最坏情况下的时间复杂度，因为它给出了性能的上界，有助于评估算法在极端情况下的表现。

空间复杂度：衡量内存占用的增长趋势

空间复杂度反映的是算法在运行过程中临时占用存储空间的大小，同样是以输入规模为变量的增长趋势。它包括算法本身使用的变量、递归调用栈以及动态分配的数据结构等所占的空间。

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• O(1)：只使用固定数量的额外变量，如交换两个数
• O(n)：需要开辟一个长度与输入成正比的数组，如复制原数组
• O(n²)：创建二维数组，其边长与输入规模相关
• O(log n)：递归深度为 log n，每层占用常数空间，如二分查找的递归实现

有些算法可以通过增加空间使用来减少时间消耗（即“以空间换时间”），比如哈希表缓存结果避免重复计算。

如何结合两者评估算法效率

实际应用中，时间和空间复杂度需综合考虑。理想情况下希望两者都尽可能低，但往往存在权衡。

• 归并排序时间复杂度为 O(n log n)，但空间复杂度为 O(n)，因为需要辅助数组
• 堆排序时间复杂度也是 O(n log n)，但空间复杂度为 O(1)，更节省内存
• 动态规划常通过保存中间结果将指数时间优化到多项式时间，但代价是增加 O(n) 或更高的空间使用

选择算法时，要根据具体场景判断优先级：实时系统更关注时间效率，嵌入式设备可能更注重空间限制。

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