NumPy数组形状与广播：离散Burgers方程中的常见陷阱与解决方案

# 原始错误代码片段
f = np.zeros((m-2, 1)) # f被初始化为一个二维列向量
# ...
f[0] = (uk[0] - ukp[1])/dt + uk[0] * (uk[0] - uL)/h - nu * (uk[1] - 2*uk[0] + uL)/h**2

# 正确的初始化方式
f = np.zeros(m-2) # f被初始化为一个一维数组

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def discreteBurgers(uk, ukp, dt, h, nu, ua, ub):
    """
    计算离散Burgers方程的残差函数 f。

    参数:
    uk  -- 当前时间步的解向量
    ukp -- 上一个时间步的解向量
    dt  -- 时间步长
    h   -- 空间步长
    nu  -- 运动粘度
    ua  -- 左边界条件
    ub  -- 右边界条件

    返回:
    f   -- 残差向量
    """
    m = uk.size
    # 修正：将 f 初始化为一维数组
    f = np.zeros(m - 2)

    # 左边界处的差分方程
    # 注意：这里 uk[0] 对应的是内部网格点的第一个点，
    # 边界条件 uL 参与计算
    f[0] = (uk[0] - ukp[1]) / dt + uk[0] * (uk[0] - ua) / h - nu * (uk[1] - 2 * uk[0] + ua) / h**2

    # 内部节点的差分方程
    # 循环范围从 1 到 m-3，对应于 f 的索引和 uk 的内部点
    for i in range(1, m - 3):
        f[i] = (uk[i] - ukp[i+1]) / dt + uk[i] * (uk[i] - uk[i-1]) / h - nu * (uk[i+1] - 2 * uk[i] + uk[i-1]) / h**2

    # 右边界处的差分方程
    # 注意：这里 uk[m-3] 对应的是内部网格点的最后一个点，
    # 边界条件 ub 参与计算
    f[m-3] = (uk[m-3] - ukp[m-2]) / dt + uk[m-3] * (uk[m-3] - uk[m-4]) / h - nu * (ub - 2 * uk[m-3] + uk[m-4]) / h**2

    return f

def step_function(x):
    """
    定义一个简单的阶梯函数。
    当 x <= 0.1 时返回 1，否则返回 0。
    """
    # 考虑NumPy数组的矢量化操作
    # 对于单个标量输入，直接返回
    if isinstance(x, (int, float, np.floating)):
        return 1 if x <= 0.1 else 0
    # 对于NumPy数组输入，进行矢量化判断
    else:
        return np.where(x <= 0.1, 1, 0)

def setupInitialData(m):
    """
    设置模型的初始数据。

    参数:
    m -- 空间网格点的数量。

    返回:
    v -- 初始数据向量。
    """
    xL = 0
    xR = 1

    h = (xR - xL) / (m - 1)                      
    x = np.linspace(xL, xR, m) # 网格点，通常不需要reshape成列向量

    # 优化：使用矢量化操作生成初始数据，避免显式循环
    v = step_function(x) # 初始数据

    return v

# 示例使用
if __name__ == '__main__':
    # 绘制阶梯函数示例
    x_axis_plot = np.linspace(0, 1, 400)
    y_plot = step_function(x_axis_plot)

    plt.plot(x_axis_plot, y_plot)
    plt.title('Step Function')
    plt.xlabel('Spatial coordinate x')
    plt.ylabel('Solution u')
    plt.grid(True)
    plt.show()

    # 设置初始数据示例
    m_points = 101 # 例如，101个网格点
    initial_v = setupInitialData(m_points)
    print(f"Initial data shape: {initial_v.shape}")
    print(f"Initial data sample: {initial_v[:5]}, ..., {initial_v[-5:]}")

    # 模拟调用 discreteBurgers (需要更多上下文才能完整运行)
    # 假设我们有一些 uk, ukp, dt, h, nu, ua, ub
    # 这里只是为了演示，实际需要一个完整的求解器
    uk_example = initial_v
    ukp_example = initial_v # 假设初始时刻 ukp 等于 uk
    dt_example = 0.01
    h_example = (1 - 0) / (m_points - 1)
    nu_example = 0.01
    ua_example = 1 # 左边界条件
    ub_example = 0 # 右边界条件

    try:
        f_result = discreteBurgers(uk_example, ukp_example, dt_example, h_example, nu_example, ua_example, ub_example)
        print(f"\nResulting f shape: {f_result.shape}")
        print(f"Resulting f sample: {f_result[:5]}")
    except Exception as e:
        print(f"\nAn error occurred during discreteBurgers call: {e}")