答案是使用并查集可高效判断图的连通性，通过初始化父节点数组，实现查找与合并操作，动态维护节点连通关系。
在C++中，使用并查集（Disjoint Set Union, DSU）判断图的连通性是一种高效且常用的方法。它适用于动态添加边并实时查询节点是否连通的场景。
并查集基本结构
并查集通过维护一个父节点数组来表示每个元素所属的集合。核心操作包括查找（find）和合并（union）。
初始化时，每个节点的父节点指向自己，表示各自独立成一个集合。
示例代码：
class UnionFind {
public:
vector parent;
UnionFind(int n) {
parent.resize(n);
for (int i = 0; i < n; ++i)
parent[i] = i;
}
int find(int x) {
if (parent[x] != x)
parent[x] = find(parent[x]); // 路径压缩
return parent[x];
}
void unite(int x, int y) {
int rx = find(x), ry = find(y);
if (rx != ry)
parent[rx] = ry; // 合并两个集合
}
bool connected(int x, int y) {
return find(x) == find(y);
}
};
判断连通性的应用方式
当处理无向图时，每读入一条边 (u, v)，就调用unite(u, v)将两个顶点合并到同一集合。之后可通过connected(u, v)快速判断两点是否在同一连通分量中。
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常见应用场景包括：判断整个图是否连通、检测加边过程中是否形成环、统计连通分量数量等。
例如，判断n个节点的图是否完全连通：
- 初始化并查集，节点数为n
- 遍历所有边，依次合并端点
- 最后检查所有节点的根是否相同，或统计不同根的数量
优化技巧提升效率
为了提高性能，通常加入路径压缩和按秩合并两种优化。
路径压缩在find中实现，使后续查询接近O(1)。按秩合并需额外维护rank数组，避免树过高。
改进后的类片段：
class UnionFindOpt {
public:
vector parent, rank;
UnionFindOpt(int n) : parent(n), rank(n, 0) {
for (int i = 0; i < n; ++i)
parent[i] = i;
}
int find(int x) {
if (parent[x] != x)
parent[x] = find(parent[x]);
return parent[x];
}
void unite(int x, int y) {
int rx = find(x), ry = find(y);
if (rx == ry) return;
if (rank[rx] < rank[ry])
parent[rx] = ry;
else {
parent[ry] = rx;
if (rank[rx] == rank[ry])
rank[rx]++;
}
}
};
基本上就这些。掌握并查集的核心思想与实现方式后，判断连通性变得直观又高效。注意根据题目需求选择是否启用按秩合并，大多数情况下路径压缩已足够。
