本文档旨在指导读者使用Python解决矩阵微分方程组。我们将详细介绍如何使用scipy.integrate库中的odeint函数，并处理矩阵运算中的维度问题，最终得到所需的解并进行可视化。本文档通过一个实际案例，展示了从问题建模到代码实现的完整流程，帮助读者掌握使用Python解决此类问题的核心技巧。
1. 问题描述与建模
本教程解决的问题是一个矩阵微分方程组，其目标是求解两个矩阵Jsol和Cmatrix，并绘制SS（即Jsol和Cmatrix矩阵乘积的绝对值）随a*Hubble/k变化的表格和图像。该问题在Wolfram Mathematica中可以方便地解决，但在Python中实现时，需要仔细处理矩阵的维度和运算。
2. Python环境准备
首先，确保安装了以下必要的Python库：
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import solve_ivp # 推荐使用solve_ivp from scipy.integrate import odeint # odeint也可以，但solve_ivp功能更强大 import sympy as sp
如果没有安装，可以使用pip进行安装：
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pip install numpy matplotlib scipy sympy
3. 定义常数和初始条件
接下来，定义数值常量和初始条件。这些值直接来源于问题描述：
Mp=1 n=2 Ntotal=10 Lambda= 4.0394888902589096*10**(-15) Cupsilon= 0.014985474358746776 phi0=12.327368461463733 dphi0=-7.95666363447687*Lambda**(1/2) rad0=36.962219515053384*Lambda a0=1 J11_0= 0 J12_0= 0 J21_0= 0 J22_0= 0
4. 构建微分方程组函数
这是问题的核心部分。我们需要将微分方程组转化为一个Python函数，该函数接收状态向量和时间作为输入，并返回状态向量的导数。
def system_matricial_m(w, t):
phi, dphi, rad, a,J11, J12,J21, J22= w
pot= Lambda*phi**(2*n)/(2*n)
dpot= Lambda*phi**(2*n-1)
ddpot = Lambda*(2*n-1)*phi**(2*n-2)
dpot0= Lambda*phi0**(2*n-1)
H = np.sqrt(Mp**2/2*(dphi**2/2+dpot+rad))
H0 = np.sqrt(Mp**2/2*(dphi0**2/2+dpot0+rad0))
gstar=12.5
Cr = gstar*np.pi**2/30
T=(rad/Cr)**(1/4);
k=100*H0
Alpha=0
Beta=1
Q=(Cupsilon*phi**(Alpha)*T**Beta)/(3*H)
gamma= Cupsilon*phi**(Alpha)*T**Beta
gammaT=Beta*Cupsilon*T**(-1+Beta)*(phi/Mp)**Alpha
gammaPhi=0
frho=1/(6*Mp**2*H**2)
grho=4 - gammaT*H*T*((dphi/H))**2/(4*rad) - k**2/(3*a**2*H**2)
hrho=T*gammaT/(4*rad*H)*(dphi/H)
Grho=grho + k**2/(3*a**2*H**2)
A = np.array([[Grho+4*rad*frho,-H*k**2/(a**2*H**2)],
[1/(3*H),3]])
B=np.array([[-(dphi/H)*np.sqrt(2*gamma*T*H/a**3)],[0]])
J = np.array([[J11, J12], [J21, J22]])
dphidt = dphi/H
ddphidt = -3*(1+Q)*dphi-dpot/H
draddt = -4*rad+3*Q*dphi**2
dadt=a
# 关键：矩阵运算的正确实现
dJdt = -A @ J - J @ A.T + B @ B.T # 使用@运算符进行矩阵乘法
dwdt = [dphidt, ddphidt, draddt,dadt,
dJdt[0, 0], dJdt[0, 1],
dJdt[1, 0], dJdt[1, 1]]
return dwdt注意事项:
- 使用@运算符进行矩阵乘法，代替np.multiply和np.dot。
- A.T表示矩阵A的转置。
5. 求解微分方程组
使用odeint函数求解微分方程组。
w0 = [phi0, dphi0, rad0, a0, J11_0, J12_0,J21_0, J22_0] t=np.linspace(0, 60, 500) # 使用 linspace 生成时间点，增加密度 sol = odeint(system_matricial_m, w0, t)
改进建议：
- 使用np.linspace生成时间点，增加时间点的密度，有助于提高解的精度。
- 可以尝试使用solve_ivp函数，该函数提供了更多的控制选项和求解器选择，例如：
from scipy.integrate import solve_ivp sol = solve_ivp(system_matricial_m, [0, 60], w0, t_eval=t, method='RK45', rtol=1e-8, atol=1e-8)
6. 提取解并计算结果
从解中提取各个变量，并计算Jsol，Cmatrix和SS。
PHI = sol[:, 0] DPHI = sol[:, 1] RAD= sol[:, 2] scale = sol[:, 3] J11 = sol[:, 4] J12 = sol[:, 5] J21 = sol[:, 6] J22 = sol[:, 7] k=100 gstar=12.5 Cr = gstar*np.pi**2/30 TEMP=(RAD/Cr)**(1/4) DPOT=Lambda*PHI**(2*n-1) GAMMA= Cupsilon*PHI**(0)*TEMP**(1) HUBBLE=np.real(np.sqrt(Mp**2/2*(DPHI**2/2+DPOT+RAD))) Q=GAMMA/(3*HUBBLE) epsilon0=-(DPHI**2*GAMMA/HUBBLE-4*RAD+(-3*DPHI*(1+Q)-DPOT/HUBBLE)*DPHI+(4.03949*10**(-15)*DPHI*PHI**3/HUBBLE))/(2*(DPHI**2/2+RAD+1.00987222*10**(-15)*PHI**4)) # 关键：正确构造矩阵和处理维度 Jsol = np.array([[J11, J12], [J21, J22]]) # 形状为 (2, 2, N) Cmatrix = np.array([[0 * HUBBLE], [3 * HUBBLE]]) # 形状为 (2, 1, N) # 为了进行矩阵乘法，需要调整 Jsol 和 Cmatrix 的形状 Jsol = np.transpose(Jsol, (2, 0, 1)) # 形状变为 (N, 2, 2) Cmatrix = np.transpose(Cmatrix, (2, 0, 1)) # 形状变为 (N, 2, 1) SS = np.abs(np.matmul(Jsol, Cmatrix)) # 使用 np.matmul 进行批量矩阵乘法
关键点：
- Jsol的形状应该是(N, 2, 2)，其中N是时间点的数量。
- Cmatrix的形状应该是(N, 2, 1)。
- 使用np.matmul进行批量矩阵乘法。
7. 数据处理与可视化
最后，计算aH/k并绘制SS随aH/k变化的图像。
aHk = scale * (HUBBLE / k)
# 从 SS 中提取数值，去除多余维度
SS_values = SS[:, 0, 0]
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(aHk, SS_values, label='|SS|')
plt.xlabel('aH/k')
plt.ylabel('|SS|')
plt.title('|SS| vs. aH/k')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()8. 总结
本教程详细介绍了使用Python求解矩阵微分方程组的步骤。关键在于正确地构建微分方程组函数，并仔细处理矩阵的维度和运算。通过使用numpy和scipy.integrate库，我们可以有效地解决此类问题，并对结果进行可视化。记住，调试此类问题时，检查矩阵的维度是至关重要的。
