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使用 Python 实现矩阵的行阶梯形变换

心靈之曲

发布： 2025-10-23 15:32:02

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使用 python 实现矩阵的行阶梯形变换

本文详细介绍了如何使用 Python 实现矩阵的行阶梯形变换，重点在于避免使用任何内置函数，并提供详细的代码示例和步骤说明，帮助读者理解算法原理并掌握实现方法。文章还包含了关于部分主元法和数值稳定性的讨论，以及最终代码的输出示例。

矩阵行阶梯形变换的原理

矩阵的行阶梯形（Row Echelon Form, REF）是线性代数中一个重要的概念。一个矩阵是行阶梯形，需要满足以下条件：

如果某行有非零元素，则该行第一个非零元素（称为主元）必须位于该行之前的所有行的主元的右侧。
所有元素都为零的行必须位于矩阵的底部。

行阶梯形变换的目标是通过一系列行变换（交换行、将某行乘以非零常数、将某行加上另一行的倍数）将原矩阵转换为行阶梯形。

Python 实现：不使用内置函数

以下代码展示了如何在 Python 中实现矩阵的行阶梯形变换，且不使用任何内置函数，例如 NumPy。为了清晰起见，我们假设输入是一个二维列表，代表一个数值矩阵。

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def row_echelon_form(matrix):
    """
    将矩阵转换为行阶梯形。

    Args:
        matrix: 一个二维列表，代表数值矩阵。

    Returns:
        转换后的行阶梯形矩阵。
    """
    rows = len(matrix)
    cols = len(matrix[0]) if rows > 0 else 0
    lead = 0  # 当前主元的列索引

    for r in range(rows):
        if lead >= cols:
            break

        i = r
        while matrix[i][lead] == 0:
            i += 1
            if i == rows:
                i = r
                lead += 1
                if lead == cols:
                    return matrix

        matrix[i], matrix[r] = matrix[r], matrix[i]  # 交换行

        lv = matrix[r][lead]
        matrix[r] = [mrx / float(lv) for mrx in matrix[r]] # 将主元变为1

        for i in range(rows):
            if i != r:
                lv = matrix[i][lead]
                matrix[i] = [iv - lv * rv for iv, rv in zip(matrix[i], matrix[r])]
        lead += 1
    return matrix

# 示例
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
print("Input matrix:", A)
REF_matrix = row_echelon_form(A)
print("Output matrix:", REF_matrix)

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代码解释：

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row_echelon_form(matrix) 函数： 接受一个二维列表 matrix 作为输入。
初始化： rows 和 cols 分别存储矩阵的行数和列数。lead 变量跟踪当前主元的列索引。
主循环： 遍历每一行。
寻找主元： 内部 while 循环寻找当前列中非零元素。如果当前列所有元素均为零，则移动到下一列。
行交换： 如果找到非零元素，且不在当前行，则交换行，确保主元位于当前行。
归一化： 将当前行主元变为 1，通过将当前行所有元素除以主元的值。
消元： 遍历所有其他行，将当前列中的元素消为 0，通过将当前行减去主元行乘以适当的倍数。
更新主元列索引： 移动到下一列，继续寻找下一个主元。

改进：加入部分主元法

为了提高算法的数值稳定性，可以引入部分主元法。部分主元法的思想是在寻找主元时，选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，以减小计算误差。

def row_echelon_form_partial_pivot(matrix):
    """
    使用部分主元法的行阶梯形变换。

    Args:
        matrix: 一个二维列表，代表数值矩阵。

    Returns:
        转换后的行阶梯形矩阵。
    """
    rows = len(matrix)
    cols = len(matrix[0]) if rows > 0 else 0
    lead = 0

    for r in range(rows):
        if lead >= cols:
            break

        i = r
        # 寻找当前列绝对值最大的元素
        max_value = abs(matrix[i][lead])
        max_row = i
        for k in range(r + 1, rows):
            if abs(matrix[k][lead]) > max_value:
                max_value = abs(matrix[k][lead])
                max_row = k

        if matrix[max_row][lead] == 0:
            lead += 1
            continue

        matrix[i], matrix[max_row] = matrix[max_row], matrix[i] # 交换行

        lv = matrix[r][lead]
        matrix[r] = [mrx / float(lv) for mrx in matrix[r]]

        for i in range(rows):
            if i != r:
                lv = matrix[i][lead]
                matrix[i] = [iv - lv * rv for iv, rv in zip(matrix[i], matrix[r])]
        lead += 1
    return matrix

# 示例
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
print("Input matrix:", A)
REF_matrix = row_echelon_form_partial_pivot(A)
print("Output matrix:", REF_matrix)

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代码解释：

与之前的代码相比，主要区别在于寻找主元的部分：