利用SymPy高效求解复杂非线性方程组：从符号到数值的实践指南

from sympy import symbols, lambdify, sqrt
import numpy as np

# 定义符号变量
c1, c2, c3 = symbols('c1,c2,c3', real=True, positive=True)

# 假设的复杂非线性方程（为演示目的简化，原问题中的方程极其复杂）
# 在实际应用中，这里替换为你的 e1, e2, e3 的实际定义
e1_sym = c1**2 + c2*c3 - 10
e2_sym = c1*c2 - c3**2 - 5
e3_sym = c1 + c2 + c3 - 7

# 将方程转化为 f(c1, c2, c3) = 0 的形式
f1_target = e1_sym + 1
f2_target = e2_sym + 0.5
f3_target = e3_sym + sqrt(3)/2

# 使用 lambdify 将符号表达式转换为数值函数
# 这里的 'numpy' 后端表示生成的函数将使用 NumPy 的数学函数
f1_num = lambdify((c1, c2, c3), f1_target, 'numpy')
f2_num = lambdify((c1, c2, c3), f2_target, 'numpy')
f3_num = lambdify((c1, c2, c3), f3_target, 'numpy')

# 验证 lambdify 后的函数
# 假设已知解的近似值
approx_c1, approx_c2, approx_c3 = 3.5472, 1.39199, 0.20238
print(f"f1_num({approx_c1}, {approx_c2}, {approx_c3}) = {f1_num(approx_c1, approx_c2, approx_c3)}")
print(f"f2_num({approx_c1}, {approx_c2}, {approx_c3}) = {f2_num(approx_c1, approx_c2, approx_c3)}")
print(f"f3_num({approx_c1}, {approx_c2}, {approx_c3}) = {f3_num(approx_c1, approx_c2, approx_c3)}")

from sympy import symbols, nsolve, sqrt

# 定义符号变量
c1, c2, c3 = symbols('c1,c2,c3', real=True, positive=True)

# 假设的复杂非线性方程（为演示目的简化，原问题中的方程极其复杂）
# 请将这里的 e1_sym, e2_sym, e3_sym 替换为你的实际方程
e1_sym = c1**2 + c2*c3 - 10
e2_sym = c1*c2 - c3**2 - 5
e3_sym = c1 + c2 + c3 - 7

# 构造方程组，形式为 Eq(表达式, 目标值) 或直接为 表达式 - 目标值
# nsolve 默认求解表达式等于0的情况，所以可以直接传入 e_i - target_i
equations = [
    e1_sym - (-1),  # e1 = -1 => e1 + 1 = 0
    e2_sym - (-0.5), # e2 = -0.5 => e2 + 0.5 = 0
    e3_sym - (-sqrt(3)/2) # e3 = -sqrt(3)/2 => e3 + sqrt(3)/2 = 0
]

# 定义变量列表
variables = [c1, c2, c3]

# 提供一个好的初始猜测值
initial_guess = [3.5472, 1.39199, 0.20238]

# 使用 nsolve 进行求解
try:
    numerical_solution = nsolve(equations, variables, initial_guess)
    print(f"\n使用 nsolve 得到的数值解:\n{numerical_solution}")
except Exception as e:
    print(f"\nnsolve 求解失败: {e}")
    print("请尝试调整初始猜测值或检查方程定义。")

from sympy import symbols, sqrt
# 导入 SymPy Plotting Backend (SPB)
# 如果未安装，请先运行: pip install sympy_plot_backends
from spb import plot3d_implicit, KB

# 定义符号变量
c1, c2, c3 = symbols('c1,c2,c3', real=True, positive=True)

# 假设的复杂非线性方程（为演示目的简化，原问题中的方程极其复杂）
# 请将这里的 e1_sym, e2_sym, e3_sym 替换为你的实际方程
e1_sym = c1**2 + c2*c3 - 10
e2_sym = c1*c2 - c3**2 - 5
e3_sym = c1 + c2 + c3 - 7

# 绘制每个方程所代表的曲面
# 注意：对于非常复杂的方程，绘图可能仍然耗时
# 调整范围和 n 参数可以平衡精度和速度
try:
    p = plot3d_implicit(
        e1_sym - (-1),
        e2_sym - (-0.5),
        e3_sym - (-sqrt(3)/2),
        (c1, 0, 5), # 调整变量范围以聚焦可能解的区域
        (c2, 0, 5),
        (c3, 0, 5),
        backend=KB, # 使用 K3DBackend 或 PlotlyBackend 可能会提供更好的交互性
        n=50,       # 降低 n 可以加快绘图速度，但精度会降低
        show=False, # 不立即显示，方便后续操作
        title="Intersection of Implicit Surfaces for Initial Guess"
    )
    # p.show() # 取消注释以显示交互式图表
    print("\n请观察生成的3D隐式曲面图，其交点区域即为解的近似位置，可用于提供 nsolve 的初始猜测。")
except Exception as e:
    print(f"\nplot3d_implicit 绘图失败: {e}")
    print("请检查 SymPy Plotting Backend 是否正确安装，或方程是否过于复杂导致绘图困难。")

from sympy import symbols, nsolve, sqrt, Eq
from spb import plot3d_implicit, KB

# 1. 定义符号变量
c1, c2, c3 = symbols('c1,c2,c3', real=True, positive=True)

# 2. 定义非线性方程组 (简化版，便于演示)
# 假设我们要解的方程是：
# c1^2 + c2 - c3 = 1
# c1 + c2^2 + c3 = 2
# c1 + c2 + c3^2 = 3
# 转化为 f(c1, c2, c3) = 0 的形式
eq1 = c1**2 + c2 - c3 - 1
eq2 = c1 + c2**2 + c3 - 2
eq3 = c1 + c2 + c3**2 - 3

equations_to_solve = [eq1, eq2, eq3]
variables = [c1, c2, c3]

print("--- 尝试使用 SymPy 的 nsolve 求解 ---")

# 3. 寻找初始猜测值 (可选但推荐)
print("尝试通过 plot3d_implicit 可视化寻找初始猜测...")
try:
    # 绘制隐式曲面，寻找交点
    # 调整范围 (c_i, min, max) 和 n 参数以适应你的方程和计算资源
    p_implicit = plot3d_implicit(
        eq1, eq2, eq3,
        (c1, -2, 2), (c2, -2, 2), (c3, -2, 2),
        backend=KB,
        n=50, # 降低 n 可以加快绘图速度，但精度会降低
        show=False,
        title="Visualizing Equation Intersections"
    )
    # p_implicit.show() # 取消注释以显示交互式图表
    print("请观察生成的3D隐式曲面图，估计交点区域的坐标。")
    # 假设通过观察，我们得到一个近似的初始猜测
    initial_guess = [1.0, 1.0, 1.0] # 这是一个示例猜测，实际应根据图表调整
    print(f"根据可视化或其他方法确定的初始猜测: {initial_guess}")

except Exception as e:
    print(f"plot3d_implicit 绘图失败: {e}")
    print("将使用一个默认的初始猜测值。")
    initial_guess = [1.0, 1.0, 1.0] # 备用默认猜测

# 4. 使用 nsolve 进行数值求解
try:
    numerical_solution = nsolve(equations_to_solve, variables, initial_guess)
    print(f"\nnsolve 得到的数值解:\n{numerical_solution}")

    # 验证解
    print("\n验证解的准确性 (代入原方程，期望接近0):")
    for i, eq in enumerate(equations_to_solve):
        # 将符号解转换为数值列表，以便代入
        sol_dict = {var: val for var, val in zip(variables, numerical_solution)}
        result = eq.subs(sol_dict)
        print(f"方程 {i+1} 结果: {result.evalf()}") # evalf() 强制数值化
except Exception as e:
    print(f"\nnsolve 求解失败: {e}")
    print("请尝试调整初始猜测值或检查方程定义。")