C++中的Boruvka算法用于最小生成树

在图论中，寻找连通加权图的最小生成树（MST）是一个常见的问题。MST是图的边的子集，它连接了所有的顶点并最小化了总边权。解决这个问题的一种高效算法是Boruvka算法。

语法

struct Edge {
   int src, dest, weight;
};

// Define the structure to represent a subset for union-find
struct Subset {
   int parent, rank;
};

算法

现在，让我们概述Boruvka算法中涉及的寻找最小生成树的步骤−

• 将 MST 初始化为空集。

• 为每个顶点创建一个子集，其中每个子集只包含一个顶点。

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• 重复以下步骤，直到最小生成树(MST)有V-1条边（V是图中顶点的数量）−

  • 对于每个子集，找到将其连接到另一个子集的最便宜的边。

  • 将选定的边添加到最小生成树中。

  • 对所选边的子集执行并集操作。

• 输出最小生成树。

方法

在Boruvka算法中，有多种方法可以找到连接每个子集的最便宜的边。以下是两种常见的方法−

方法一：朴素方法

对于每个子集，遍历所有边，并找到将其连接到另一个子集的最小边。

跟踪选定的边并执行联合操作。

示例

#include 
#include 
#include 

struct Edge {
   int src, dest, weight;
};

// Define the structure to represent a subset for union-find
struct Subset {
   int parent, rank;
};

// Function to find the subset of an element using path compression
int find(Subset subsets[], int i) {
   if (subsets[i].parent != i)
      subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent);
   return subsets[i].parent;
}

// Function to perform union of two subsets using union by rank
void unionSets(Subset subsets[], int x, int y) {
   int xroot = find(subsets, x);
   int yroot = find(subsets, y);
   if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank)
      subsets[xroot].parent = yroot;
   else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank)
      subsets[yroot].parent = xroot;
   else {
      subsets[yroot].parent = xroot;
      subsets[xroot].rank++;
   }
}

// Function to find the minimum spanning tree using Boruvka's algorithm
void boruvkaMST(std::vector& edges, int V) {
   std::vector selectedEdges; // Stores the edges of the MST

   Subset* subsets = new Subset[V];
   int* cheapest = new int[V];

   // Initialize subsets and cheapest arrays
   for (int v = 0; v < V; v++) {
      subsets[v].parent = v;
      subsets[v].rank = 0;
      cheapest[v] = -1;
   }

   int numTrees = V;
   int MSTWeight = 0;

   // Keep combining components until all components are in one tree
   while (numTrees > 1) {
      for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {
         int set1 = find(subsets, edges[i].src);
         int set2 = find(subsets, edges[i].dest);

         if (set1 != set2) {
            if (cheapest[set1] == -1 || edges[cheapest[set1]].weight > edges[i].weight)
               cheapest[set1] = i;
            if (cheapest[set2] == -1 || edges[cheapest[set2]].weight > edges[i].weight)
               cheapest[set2] = i;
         }
      }

      for (int v = 0; v < V; v++) {
         if (cheapest[v] != -1) {
            int set1 = find(subsets, edges[cheapest[v]].src);
            int set2 = find(subsets, edges[cheapest[v]].dest);

            if (set1 != set2) {
               selectedEdges.push_back(edges[cheapest[v]]);
               MSTWeight += edges[cheapest[v]].weight;
               unionSets(subsets, set1, set2);
               numTrees--;
            }

            cheapest[v] = -1;
         }
      }
   }

   // Output the MST weight and edges
   std::cout << "Minimum Spanning Tree Weight: " << MSTWeight << std::endl;
   std::cout << "Selected Edges:" << std::endl;
   for (const auto& edge : selectedEdges) {
      std::cout << edge.src << " -- " << edge.dest << " \tWeight: " << edge.weight << std::endl;
   }

   delete[] subsets;
   delete[] cheapest;
}

int main() {
   // Pre-defined input for testing purposes
   int V = 6;
   int E = 9;
   std::vector edges = {
      {0, 1, 4},
      {0, 2, 3},
      {1, 2, 1},
      {1, 3, 2},
      {1, 4, 3},
      {2, 3, 4},
      {3, 4, 2},
      {4, 5, 1},
      {2, 5, 5}
   };

   boruvkaMST(edges, V);

   return 0;
}

输出

Minimum Spanning Tree Weight: 9
Selected Edges:
0 -- 2 	Weight: 3
1 -- 2 	Weight: 1
1 -- 3 	Weight: 2
4 -- 5 	Weight: 1
3 -- 4 	Weight: 2

Explanation

解释

我们首先定义两个结构 - Edge 和 Subset。 Edge 表示图中的一条边，包含边的源、目的地和权重。 Subset表示并查数据结构的子集，包含父级和排名信息。

find函数是一个辅助函数，它使用路径压缩来查找元素的子集。它递归地查找元素所属的子集的代表（父节点），并压缩路径以优化未来的查询。

unionSets函数是另一个辅助函数，使用按秩合并的方式对两个子集进行合并。它找到两个子集的代表，并根据秩进行合并，以保持平衡树。

boruvkaMST 函数采用边向量和顶点数 (V) 作为输入。它实现了 Boruvka 算法来查找 MST。

在 boruvkaMST 函数内，我们创建一个向量 selectedEdges 来存储 MST 的边。

我们创建一个Subset结构的数组来表示子集，并用默认值初始化它们。

我们还创建了一个数组 cheapest 来跟踪每个子集的最便宜的边。

变量 numTrees 被初始化为顶点的数量，MSTWeight 被初始化为 0。

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该算法通过重复组合组件来进行，直到所有组件都在一棵树中。主循环运行直到 numTrees 变为 1。

在主循环的每次迭代中，我们迭代所有边并找到每个子集的最小加权边。如果边连接两个不同的子集，我们用最小加权边的索引更新最便宜的数组。

接下来，我们遍历所有的子集，如果一个子集存在最小权重的边，我们将其添加到selectedEdges向量中，更新MSTWeight，执行子集的并集操作，并减少numTrees的值。

最后，我们输出 MST 权重和选定的边。

主要功能提示用户输入顶点数和边数。然后，它获取每条边的输入（源、目标、权重）并使用输入调用 boruvkaMST 函数。

方法二：使用优先队列

创建一个按照权重排序的优先队列来存储边。

对于每个子集，从优先级队列中找到将其连接到另一个子集的最小权重边。

跟踪选定的边并执行联合操作。

示例

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

// Edge structure representing a weighted edge in the graph
struct Edge {
   int destination;
   int weight;

   Edge(int dest, int w) : destination(dest), weight(w) {}
};

// Function to find the shortest path using Dijkstra's algorithm
vector dijkstra(const vector>& graph, int source) {
   int numVertices = graph.size();
   vector dist(numVertices, INT_MAX);
   vector visited(numVertices, false);

   dist[source] = 0;
   priority_queue, vector>, greater>> pq;
   pq.push(make_pair(0, source));

   while (!pq.empty()) {
      int u = pq.top().second;
      pq.pop();

      if (visited[u]) {
         continue;
      }

      visited[u] = true;

      for (const Edge& edge : graph[u]) {
         int v = edge.destination;
         int weight = edge.weight;

         if (dist[u] + weight < dist[v]) {
            dist[v] = dist[u] + weight;
            pq.push(make_pair(dist[v], v));
         }
      }
   }

   return dist;
}

int main() {
   int numVertices = 4;
   vector> graph(numVertices);

   // Adding edges to the graph
   graph[0].push_back(Edge(1, 2));
   graph[0].push_back(Edge(2, 5));
   graph[1].push_back(Edge(2, 1));
   graph[1].push_back(Edge(3, 7));
   graph[2].push_back(Edge(3, 3));

   int source = 0;
   vector shortestDistances = dijkstra(graph, source);

   cout << "Shortest distances from source vertex " << source << ":\n";
   for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
      cout << "Vertex " << i << ": " << shortestDistances[i] << endl;
   }

   return 0;
}

输出

Shortest distances from source vertex 0:
Vertex 0: 0
Vertex 1: 2
Vertex 2: 3
Vertex 3: 6

Explanation

解释

在这种方法中，我们使用优先队列来优化查找每个子集的最小加权边的过程。下面是代码的详细解释 −

代码结构和辅助函数（如find和unionSets）与之前的方法保持相同。

boruvkaMST 函数被修改为使用优先级队列来有效地找到每个子集的最小加权边。

而不是使用最便宜的数组，我们现在创建一个边的优先队列（pq）。我们用图的边来初始化它。

主循环运行直到 numTrees 变为 1，与之前的方法类似。

在每次迭代中，我们从优先队列中提取最小权重的边（minEdge）。

然后我们使用find函数找到minEdge的源和目标所属的子集。

如果子集不同，我们将minEdge添加到selectedEdges向量中，更新MSTWeight，执行子集的合并，并减少numTrees。

该过程将继续，直到所有组件都在一棵树中。

最后，我们输出 MST 权重和选定的边。

主要功能与之前的方法相同，我们有预定义的输入用于测试目的。

结论

Boruvka 算法为查找加权图的最小生成树提供了一种有效的解决方案。在用 C++ 实现该算法时，我们的团队深入探索了两种不同的路径：一种是传统的或“朴素”的方法。另一个利用优先级队列。取决于当前给定问题的具体要求。每种方法都有一定的优点，可以相应地实施。通过理解和实现 Boruvka 算法，您可以有效地解决 C++ 项目中的最小生成树问题。