检查是否可能从原点到达给定圆的周长上的任意点

王林

发布时间：2023-08-29 21:13:12

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检查是否可能从原点到达给定圆的周长上的任意点

圆的周长可以定义为圆的外边界。它是圆的周长。圆周围的每个点都遵循某些属性，如下所示 -

点 (x,y) 位于圆内，使得 $\mathrm{x^2 + y^2
点 (x,y) 位于圆上，使得 $\mathrm{x^2 + y^2 = R^2}$
点 (x,y) 位于圆外，使得 $\mathrm{x^2 + y^2 > R^2}$

其中 R = 圆的半径。

问题陈述

给定一个表示一系列移动（L、R、U、D）的字符串 S 和一个表示圆半径的整数 R。检查是否可以通过选择从S开始的任何移动子序列来到达以原点为半径为R的圆的圆周上的任何点。每个移动的操作如下所示，

L = 减少 x 坐标
R = 增量 x 坐标
U = y 坐标增量
D = 递减 y 坐标

示例 1

输入

S = “RURDLR”
R = 2

输出

Yes

说明

选择子序列“RR” -

最初，(0, 0) + R -> (1, 0) + R -> (2, 0)。

周长可能为 2² + 02 = 4 = R²

示例 2

输入

S = “UUUUU”
R = 6

输出

No

说明

选择最大的子序列“UUUU” -

最初，(0, 0) + U -> (0, 1) + U -> (0, 2) + U -> (0, 3) + U -> (0, 4) + U -> (0, 5)。

不可能达到圆周，因为 0² + 5² = 25 R²

方法 1：暴力破解

问题的解决方法是找到字符串S的所有可能的子序列，然后检查每个子序列是否可以到达圆周。通过维护 x 和 y 的计数器来检查这些条件，其中 x 在每个 L 上递减并在每个 R 上递增。类似地，y 在每个 D 上递减并在每个 U 上递增。然后检查 x² + y² = R² 检查终点是否在圆周上。

伪代码

procedure subsequence (S, sub, vec):
   if S is empty
      add sub to vec
      return
   end if
   subsequence(S.substring(1), sub + S[0], vec)
   subsequence(S.substring(1), sub, vec)
end procedure

procedure checkSeq (S, R)
   x = 0
   y = 0
   for move in S do
      if move == 'L' then
         x = x - 1
      else if move == 'R' then
         x = x + 1
      else if move == 'U' then
         y = y + 1
      else if move == 'D' then
         y = y - 1
      end if
      if x^2 + y^2 = R^2 then
         return true
      end if
   end for
   return false
end procedure

procedure reachCircumference (S, R):
   v = []      
   subsequence(S, "", v)
   for str in v:
      if checkSeq(str, R)
      return "yes"
      end if
   return "no"
end procedure

示例：C++ 实现

在下面的程序中，创建字符串 S 的所有可能的子序列，并检查它们是否到达圆的圆周。

#include 
using namespace std;

// Function to create all the possible subsequence of string S
void subsequence(string S, string sub, vector &vec){

   // Base Case
   if (S.empty()) {
      vec.push_back(sub);
      return;
   }
   
   // Subsequence including the character
   subsequence(S.substr(1), sub + S[0], vec);
   
   // Subsequence excluding the character
   subsequence(S.substr(1), sub, vec);
}

// Function to check if a given sequence of steps lead to the circumference of the circle with radius R
bool checkSeq(string S, int R){

   // Initialising centre of circle as (0, 0)
   int x = 0, y = 0;
   for (char move : S) {
      if (move == 'L') {
         x -= 1;
      } else if (move == 'R') {
         x += 1;
      } else if (move == 'U') {
         y += 1;
      } else if (move == 'D') {
         y -= 1;
      }
      
      // Check to find if (x, y) lie on circumference using the circle equation
      if (x*x + y*y == R*R) {
         return true;
      }
   }
   return false;
}

// function to check if any subsequence of string S leads to any point on the circumference of the circle
string reachCircumference(string S, int R){
   vector  v;
   string sub = "";
   
   // Storing all subsequence in vector v
   subsequence(S, sub, v);
   
   // Checking the condition for each subsequence
   for (auto str: v) {
      if(checkSeq(str, R)) {
         return "yes";
         break;
      }
   }
   return "no";
}

// Driver Code
int main(){
   string S = "RURDLR";
   int R = 2;
   cout << reachCircumference(S, R) << endl;
   return 0;
}

输出

yes

方法2：优化方法

解决该问题的一个有效方法是检查使用（L、R、U 或 D）的任意一对 x 和 y 的 x 和 y 的平方和是否等于半径的平方。

首先，我们计算每个步骤的最大出现次数，并检查是否有任何一个等于 R。如果不相等，则我们检查是否有任何数量的 L 或 R 以及 U 或 D 的对可以导致等于 R 的距离起源。

伪代码

procedure reachCircumference (S, R)
   cL = 0
   cR = 0
   cD = 0
   cU = 0
   for move in S do
if move == 'L' then
x = x - 1
else if move == 'R' then
x = x + 1
else if move == 'U' then
y = y + 1
else if move == 'D' then
y = y - 1
end if
if x^2 + y^2 = R^2 then
return true
end if
end for
   if max(max(cL, cR), max(cD, cU)) >= R
      return “yes”
   maxLR = max(cL, cR)
maxUD = max(cU, cD)
Initialise unordered map mp
sq = R * R
for i = 1 till i * i = sq
   if sq - i*i is not in the map
      if maxLR>= mp[sq - i * i] and maxUD >= i
         return “yes”
      end if
      if maxLR >= i && maxUD >= mp[sq - i * i]
         return “yes”
      end if
   end if
end for
return “no”
end procedure

下面是 C++ 实现，

在下面的程序中，我们使用映射来检查是否存在通向圆周长的子序列。

#include 
using namespace std;

// Function to check if any subsequence of string S leads to any point on the circumference of the circle
string reachCircumference (string S, int R){

   // Counting total occurrenceof each L, R, U, D
   int cL = 0, cR = 0, cD = 0, cU = 0;
   for (char move : S) {
      if (move == 'L') {
         cL++;
      } else if (move == 'R') {
         cR++;
      } else if (move == 'U') {
         cU++;
      } else if (move == 'D') {
         cD++;
      }
   }
   
   // Checking for a path to circumference using only one type of move
   if (max(max(cL, cR), max(cD, cU)) >= R) {
      return "yes";
   }
   int maxLR = max(cL, cR), maxUD = max(cU, cD);
   unordered_map mp;
   int sq = R * R;
   for (int i = 1; i * i <= sq; i++) {
      mp[i * i] = i;
      if (mp.find(sq - i * i) != mp.end()) {
      
         // Checking if it is possible to reach (± mp[r_square - i*i], ± i)
         if (maxLR>= mp[sq - i * i] && maxUD >= i)
            return "yes";
            
         // Checking if it is possible to reach (±i, ±mp[r_square-i*i])
         if (maxLR >= i && maxUD >= mp[sq - i * i])
            return "yes";
      }
   }
   return "no";
}

// Driver Code
int main(){
   string S = "RURDLR";
   int R = 5;
   cout << reachCircumference(S, R) << endl;
   return 0;
}