推导欧拉公式的过程

欧拉公式的推导

e^ix=cosx+isinx，其中e是自然对数的底，i是虚数单位。这个等式将三角函数的定义域扩展到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系。在复变函数论中，这个等式具有重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的证明：

因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4！+……

cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6！……

sin x=x-x^3/3!+x^5/5！-……

在e^x的展开式中把x换成±ix.（±i）^2=-1， （±i）^3=〒i， （±i）^4=1 ……（注意：其中”〒”表示”减加”）

e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3！〒x^4/4！……

=(1-x^2/2！+……)±i(x-x^3/3！……)

所以e^±ix=cosx±isinx

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

e^iπ+1=0.

算法：欧拉路

欧拉回路 【定义】

图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次，则称该回路为欧拉（Euler）回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。

【相关结论】

定理：

一个无向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。

一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。

欧拉回路的一种解法

下面是无向图的欧拉回路输出代码：注意输出的前提是已经判断图确实是欧拉回路。

int num = 0；//标记输出队列

int match[MAX]；//标志节点的度，无向图，不区分入度和出度

void solve(int x)

l{

l if(match[x] == 0)

l

l Record[num++] = x;

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l

l else

l {

l for(int k =0;kl {

l if(Array[x][k] !=0 )

l {

l Array[x][k]--;

l Array[k][x]--;

l match[x]--;

l match[k]--;

l solve(k);

l }

l

l }

l Record[num++] = x;

l }

l}

注意record中的点的排列是输出的到序，因此，如果要输出欧拉路径，需要将record倒过来输出。

欧拉回路的思路：

循环的找到出发点。从某个节点开始，然后查出一个从这个出发回到这个点的环路径。这种方法保证每个边都被遍历。如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点，这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被连接到一起了。

具体步骤：

1。如果此时与该点无相连的点，那么就加入路径中

2。如果该点有相连的点，那么就列一张表，遍历这些点，直到没有相连的点。

3。处理当前的点，删除走过的这条边，并在其相邻的点上进行同样的操作，并把删除的点加入到路径中去。

4。这个其实是个递归过程。

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