Wolfram|Alpha自然语言帮你做计算系列（03）：具体、抽象函数、隐函数、参数方程求导与方向导数计算

导数和微分是微积分的基础内容，计算一元函数和多元函数的导数时，思想是一致的。无论是一元函数还是多元函数，导数和偏导数的计算都是将函数视为求导变量的一元函数进行求导。微分在描述形式上略有不同，但计算方法仍然相同，只是多元函数需要计算多个导数。

本文将通过具体实例，介绍如何利用线上工具计算具体和抽象函数的导数（包括偏导数）、微分以及多元函数的方向导数。

工具：Wolfram|Alpha 计算知识引擎，网址为：https://www.php.cn/link/f0e6d819eb9557e2fc97ac251d6bcd2a。

1、一元、多元函数一阶导数与导数值的计算

代码语言：javascript 代码运行次数：0

d/dx((x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x))

执行后的结果如下图所示。

结果不仅显示导数结果，还给出了函数在不同范围内的图形。输入表达式也可以直接以更自然的语言描述形式输入，例如输入：

代码语言：javascript 代码运行次数：0

derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x)

执行计算得到的结果一致。

在以上两种输入的表达式后面加上where x=1，例如输入：

代码语言：javascript 代码运行次数：0

derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x) where x=1

2、一元、多元函数高阶导数的计算

3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

将上面具体函数求导的函数表达式换成抽象函数即可。

例1 计算下列函数的一阶、二阶导数：

F(x) = x^2 f(3x + 4cos(x))

输入表达式为：

代码语言：javascript 代码运行次数：0

d/dx (x^2)f(3x+4cosx), d^2/dx^2 (x^2)f(3x+4cosx)

执行后的结果为：

4、全微分的计算

其中derivative可以替换为differential。也可以直接基于Wolfram语言，也即Mathematica中的命令来执行计算，例如输入表达式：

代码语言：javascript 代码运行次数：0

Dt(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

则将表达式中的符号都识别为变量符号，执行计算得到全微分表达式。如下图。

代码语言：javascript 代码运行次数：0

derivative x^3+y^3-3a x y=0 with respect to x

执行后的结果显示为：

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6、参数方程求一阶、二阶导数

代码语言：javascript 代码运行次数：0

(d/dt e^t sint)/(d/dt e^t cost)

执行后的结果显示为：

除了得到一阶导数结果外，当然还会显示一阶导函数很多各种相关的描述。

利用公式计算二阶导数，输入表达式为：

代码语言：javascript 代码运行次数：0

((d^2/dt^2 e^t sint)(d/dt e^t cost)-(d/dt e^t sint)(d^2/dt^2 e^t cost))/(d/dt e^t cost)^3

执行后的结果显示为：

7、方向导数的计算

例1 计算以下函数指定方向的方向导数：

f(x,y) = x e^(2y) + cos(xy), u = (3, -4)

输入表达式为：

代码语言：javascript 代码运行次数：0

derivative of x e^(2y)+cos(x y) in the direction (3,-4)

执行后的结果显示为：

不仅给出了方向导数，也给出了函数的梯度向量。

例2 计算以下函数指定方向的方向导数：

z = f(x,y), u = (a,b)

输入表达式为：

代码语言：javascript 代码运行次数：0

derivative of f(x,y) in the direction (a,b)

执行后的结果显示为：

例3 计算以下函数指定方向和点处的方向导数：

f = 3x^2 + 2y^2 + z^2, u = (-2, -2, 1), P(1, 2, 3)

输入表达式为：

代码语言：javascript 代码运行次数：0

derivative 3x^2+2y^2+z^2 in direction (-2,-2,1) at point (1,2,3)

执行后的结果显示为：

当然，以上计算也可以直接依据求偏导数与方向导数计算公式，逐步计算代入得到结果。

以上就是Wolfram|Alpha自然语言帮你做计算系列（03）：具体、抽象函数、隐函数、参数方程求导与方向导数计算的详细内容，更多请关注php中文网其它相关文章！