单射要求不同输入对应不同输出，满射要求每个陪域元素都有原像，双射则是单射与满射的结合，三者共同刻画函数的映射特性。
如果您在学习离散数学时遇到函数映射相关的问题，尤其是对单射、满射和双射的概念感到混淆，那么本文将帮助您理清这些基本但关键的定义及其内在联系。以下是详细解析：
一、单射的定义与判断方法
单射描述的是一个函数中不同输入对应不同输出的性质。换句话说，若两个不同的自变量映射到相同的因变量，则该函数不是单射。
1、设函数 f: A → B，若对于任意 x₁, x₂ ∈ A，当 x₁ ≠ x₂ 时，都有 f(x₁) ≠ f(x₂)，则称 f 为单射。
2、可以通过反证法验证：假设存在 x₁ ≠ x₂ 但 f(x₁) = f(x₂)，若能推出矛盾，则说明是单射。
3、图形上，在实数集上的函数若满足水平线测试（即任一水平线与图像至多交于一点），则是单射。
二、满射的定义与判断方法
满射强调函数的值域等于其陪域，即每一个目标集合中的元素都至少有一个原像。
1、设函数 f: A → B，若对于任意 y ∈ B，都存在至少一个 x ∈ A，使得 f(x) = y，则称 f 为满射。
2、验证时需检查陪域 B 中的每个元素是否都能被 A 中某个元素映射到。
3、注意满射不要求唯一性，允许多个 x 映射到同一个 y。
三、双射的定义与判断方法
双射是同时满足单射和满射的函数，它建立两个集合之间的“一一对应”关系。
1、设函数 f: A → B，若 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射。
2、双射的存在意味着集合 A 和 B 具有相同的基数（元素个数相等，即使无限也需满足等势）。
3、双射函数一定存在逆函数 f⁻¹: B → A，且该逆函数也是双射。
四、三者之间的逻辑关系分析
理解单射、满射与双射的关系有助于准确分类函数类型。
1、一个函数可以只是单射而非满射，例如 f: ℝ → ℝ, f(x) = eˣ，它是单射但不覆盖所有实数（值域为正实数）。
2、一个函数可以只是满射而非单射，例如 f: ℝ → [0, ∞), f(x) = x²，每个非负数都有原像，但正负两数映射同一结果。
3、只有当函数同时满足单射和满射条件时，才称为双射，如 f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1。
4、从集合大小角度看，若存在从 A 到 B 的双射，则 |A| = |B|；若仅存在单射，则 |A| ≤ |B|；若仅存在满射，则 |A| ≥ |B|。
